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Funções implícitas

Círculos

Você já pensou em círculos? Quer dizer, realmente, realmente pensou sobre círculos? Bem, a equação para um círculo é x ^ 2 + y ^ 2 = 1.


A equação para um círculo
Equação para um Círculo

y f (x) y x x y

Para cada valor de x dentro deste círculo, portanto, entre -1 e 1, existem dois valores y possíveis : um no topo do círculo e um na parte inferior do círculo. Isso significa que para cada valor de x obtemos dois valores de y , de modo que não é realmente uma função. Vamos resolver isso para obter y igual a alguma função de x . Vou subtrair x ^ 2 de ambos os lados e tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Eu obtenho y = +/- a raiz quadrada de (1 – x ^ 2). Bem, essas são realmente duas funções: eu tenho uma para a metade superior do círculo, y = a raiz quadrada de (1 –x ^ 2), e um para a metade inferior do círculo, y = – a raiz quadrada de (1 – x ^ 2). Então, o que está acontecendo aqui?

Ovais

As coisas podem ficar um pouco mais claras se olharmos para o primo um pouco mais complicado do círculo, o oval. A equação para um oval é 1 = x ^ 2 + y ^ 2 + xy .


A equação para um oval
Equação para um oval

x y

Funções implícitas

Isso é o que chamo de função implícita – depende de x e y ; X e Y não podem ser separados. Não consigo escrever f (x) igual a alguma função de x ; que tem de haver alguma função de x e y . É importante observar que funções como essa não são realmente funções, pelo menos no sentido tradicional. O que eu quero dizer? Vamos voltar ao nosso círculo, x ^ 2 + y ^ 2 = 1. Eu resolvi para y = a raiz quadrada de (1 – x ^ 2) ey = – a raiz quadrada de (1 – x^ 2), então eu tenho duas funções que estão implícitas em nossa função implícita. Vamos dar uma olhada em outro exemplo.

Exemplo de uma função implícita

Vamos dar uma olhada em xy = y ^ 3 + x ^ 3.


Gráfico para o exemplo final de função implícita
Exemplo de saca-rolhas

Nesse caso, eu tenho uma espécie de loop, e minha equação na verdade implica três funções diferentes. Eu tenho minha primeira função, digamos y = f (x) , que é definida sobre este intervalo de valores x , eu tenho outra função, y = g (x) , que é definida sobre esses valores x e eu tenho uma terceira função, y = h (x) , que é definido sobre esses valores de x . Portanto, uma função implícita implica três funções reais de x .

Você pode obter alguns gráficos realmente interessantes com funções implícitas, mas é muito importante saber que você não pode escrevê-los em todos os lugares com uma única função. Ou seja, a equação 1 = xy + sin ( x ) + cos ( y ) é uma função implícita, mas não posso escrevê-la como y = f (x) para todos os valores de x .

Resumo da lição

Então, vamos revisar. Funções implícitas são equações que têm x e y , mas você não pode separá-los. Você não pode resolver para y como alguma função de x . Em geral, você deseja representá-los em um computador ou calculadora, embora existam algumas funções implícitas que você deve apenas saber, como 1 = x ^ 2 + y ^ 2 é um círculo unitário. As funções implícitas também ‘implicam’ uma ou mais funções, como no caso do círculo, 1 = x ^ 2 + y ^ 2 implica que y = a raiz quadrada de (1 – x ^ 2) ey = – a raiz quadrada de (1 – x ^ 2).