O que é uma função explícita
No reino da matemática, provavelmente temos poucos problemas para entender o conceito de função. Uma função é uma expressão que gera uma saída única para cada entrada.
Agora, a palavra explícito é um adjetivo que descreve algo que é expresso claramente. Por exemplo, os sinais de parada que vemos em nossas estradas são geralmente explícitos. Eles fazem uma declaração muito clara e fornecem uma instrução clara.
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Então, o que é uma função explícita? Uma função explícita é uma função que é expressa claramente. Portanto, deve ser fácil de entender e aplicar. Mais precisamente, é uma função que é escrita em termos de uma variável independente ou de entrada.
Normalmente escrevemos funções explícitas como uma variável em termos de outra variável. Um exemplo simples de uma função explícita é uma função linear, como y = 4 x – 7. Essa função é escrita como a variável dependente y em termos da variável independente x . É expresso de forma clara e podemos avaliar facilmente os valores da variável independente. Se usarmos a notação de função, podemos escrever esta função explícita como f ( x ) = 4 x – 7.
Uma função explícita é geralmente uma regra para avaliar valores da variável independente. A regra nos diz o que é feito com a variável independente para produzir uma saída. No exemplo que acabamos de ver, a função explícita nos diz para multiplicar a variável independente por 4 e, em seguida, subtrair 7 desse produto. Por exemplo, vamos encontrar o valor da função quando x = 5:
y = 4 (5) – 7
y = 20 – 7
y = 13
Veremos agora outros exemplos de funções explícitas.
Exemplos
Funções Quadráticas
Uma função quadrática é uma função explícita quando é exibida na forma padrão y = ax ^ 2 + bx + c . Por exemplo, a seguinte função quadrática é uma função explícita:
y = 3 x ^ 2 – 4 x + 10.
Esta função é escrita em termos da variável independente x .
Sequência aritmética
A regra para uma sequência aritmética pode ser mostrada como uma função explícita. Vamos considerar a seguinte sequência aritmética:
3, 8, 13, 18, 23, …
Esta sequência aritmética tem um primeiro termo de 3 e uma diferença comum de 5. A regra geral explícita para uma sequência aritmética é a seguinte:
a ( n ) = a (1) + ( n – 1) d
O n ésimo termo de uma sequência de operações aritméticas são frequentemente representados por uma ( n ). Por exemplo, o primeiro termo de uma sequência aritmética é a (1) e o décimo termo de uma sequência aritmética é a (10). Os números próximos à letra a geralmente são escritos como subscritos, mas parênteses serão usados às vezes nesta lição. A diferença comum de uma seqüência aritmética é representada pela letra d .
Vamos voltar ao nosso exemplo original de uma sequência aritmética e substituir a (1) pelo primeiro termo 3 e d pela diferença comum 5. Obtemos então o seguinte:
a ( n ) = 3 + ( n – 1) 5
Agora temos uma regra explícita para a seqüência aritmética. Em outras palavras, temos uma função explícita que é escrita em termos da variável independente n . Podemos tornar a função mais eficiente simplificando:
a ( n ) = 3 + 5 n – 5 (distribuir o 5)
a ( n ) = -2 + 5 n (combinar termos semelhantes)
Agora é fácil encontrar qualquer número na sequência. Você deve ter notado que a regra explícita para uma sequência aritmética é uma função linear. Vamos encontrar o 67º termo da sequência. Se n = 67, avaliamos a (67) da seguinte forma:
a (67) = -2 + 5 (67)
a (67) = -2 + 335
a (67) = 333
O 67º termo da sequência é 333.
Sequência Geométrica
A regra para uma sequência geométrica pode ser mostrada como uma função explícita. Vamos considerar a seguinte sequência geométrica:
4, 12, 36, 108, 324, …
Esta sequência geométrica tem um primeiro termo de 4 e uma razão comum de 3. Observe que cada termo é um produto do termo anterior e do número 3. Por exemplo, 4 (3) = 12, 12 (3) = 36, etc. . A regra geral explícita para uma sequência geométrica é a seguinte:
a ( n ) = a (1) r ^ ( n – 1)
Esta regra geral é mostrada aqui (Figura 1). Semelhante a uma função aritmética, o n ésimo termo de uma sequência geométrica é frequentemente representado por uma ( n ). A proporção comum de uma seqüência geométrica é representada por r .
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Vamos voltar ao nosso exemplo original de uma sequência geométrica e substituir a (1) pelo primeiro termo 4 e r pela razão comum 3. Obtemos então o seguinte:
a ( n ) = 4 (3) ^ ( n – 1)
Agora, podemos ter uma regra explícita para a sequência geométrica. Em outras palavras, temos uma função explícita que é escrita em termos da variável independente n .
Agora podemos encontrar facilmente qualquer número na sequência. Vamos encontrar o 12º termo da sequência. Se n = 12, avaliamos a (12) da seguinte forma:
a (12) = 4 (3) ^ (12-1)
a (12) = 4 (3) ^ 11
a (12) = 4 (177.147)
a (12) = 708.588
O 12º termo da sequência geométrica é 708.588
Todas as sequências não são aritméticas ou geométricas. Vamos considerar a seguinte sequência:
1, 4, 9, 16, 15, …
O padrão mostra que essa sequência é o quadrado de inteiros positivos. Podemos escrever a regra explícita da seguinte maneira:
a ( n ) = n ^ 2
Também poderíamos escrever essa regra explícita como uma função quadrática simples: y = x ^ 2. A única diferença é que a equação quadrática implica que também podemos avaliar outros números além de inteiros positivos, como inteiros negativos.
Uma função trigonometria, como y = cos x ou y = tan x , é uma função explícita porque é escrita como uma variável em termos de outra variável.
Resumo da lição
Vamos revisar. Uma função explícita é uma função que geralmente é escrita como uma variável, ou variável dependente, em termos de outra variável ou variável independente. No entanto, também podemos usar notação de função , como f ( x ), e notação de sequência, como a ( n ), no lugar da variável dependente.
Funções explícitas são discerníveis e fornecem uma maneira eficiente de avaliar os valores da variável independente. Funções lineares e funções quadráticas são apenas alguns exemplos de funções explícitas. Quando escrevemos regras explícitas para sequências aritméticas e geométricas , também criamos funções explícitas.