Funções
Lembre-se de que as funções são como uma caixa preta; eles mapeiam números para outros números. Se y é uma função de x , então o escrevemos como y = f (x) . E para esta função, temos uma entrada, x , e uma saída, y . Portanto, x é nossa variável independente ey é nossa variável dependente. Nossa entrada estará em qualquer lugar dentro do domínio da função e nossa saída estará em qualquer lugar dentro do intervalo da função. Portanto, talvez não seja muito complicado saber que você pode combinar funções em uma grande função.
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Funções compostas
Em matemática, isso é conhecido como composição de funções . Aqui, você começa com x e o usa como entrada para uma função, y = f (x) . E você vai colocar isso como entrada em uma segunda função, g . Portanto, se temos uma função y = f (x) , e queremos plugá-la em z = g (y) , podemos terminar com z = g (f (x)) . Esta é uma função composta .
Quando você está examinando funções compostas, há dois pontos principais a serem considerados. Primeiro, você precisa avaliar a função de dentro para fora. Você precisa descobrir o que é f (x) antes de descobrir o que é g . Digamos que temos a função f (x) = 3 x , e temos outra função g (x) = 4 + x . Vou encontrar z quando x = 2. Encontraremos f (x) quando x = 2 para f (2) = 3 * 2, que é 6. Dizer g ( f (2)) é como dizer g (6). Nós fazemos a mesma coisa e dizemos g(6) = 4 + 6. Bem, isso é 10, então z é apenas 10.
A segunda coisa a ter em mente é que g (f (x)) não é igual a f (g (x)) . Existem alguns casos em que pode, mas, em geral, não. Portanto, se usarmos f (x) = 3 x e g (x) = x + 4, vamos examinar o caso em que x = 0. Então g ( f (0)), onde f (0) é 0 * 3 – bem, isso é apenas zero, então estou olhando para g (0). Eu insiro zero para x aqui, e é apenas 4. Agora, se eu olhar para f ( g (0)), é como dizer f (4), e isso me dá 12. f ( g (0)) = 12 , eg ( f (0)) = 4. Esses não são os mesmos. Portanto, g (f (x)) não é igual a f (g (x)) .
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Domínio e intervalo de funções compostas
O que acontece com o domínio e o intervalo de uma função composta? Bem, se temos a função g (x) , temos algum domínio e algum intervalo para g (x) . Separadamente, temos um domínio para f (x) e um intervalo para g (x) . Se eu escrever f (g (x)) , a saída de g (x) , que é o intervalo, deve estar em algum lugar no domínio de f (x) . Caso contrário, poderíamos obter um número com o qual f (x) realmente não sabe o que fazer. O que tudo isso realmente significa? Considere a função f (x) = sin ( x ).
O domínio de sin ( x ) será todo de x , e o intervalo será entre -1 e 1. Agora vamos olhar para a função g (x) igual ao valor absoluto de x , ou g (x) = abs ( x ). Novamente, o domínio é todo de x , e o intervalo é tudo maior que 1 ou igual a 0. Se eu pegar esses dois – aqui está o meu intervalo de sin ( x ) – o que acontece com g (f (x)) ? Então g é o valor absoluto, então terei abs (sin ( x )).
Qual é o domínio e o alcance dessa função composta? Se estou representando g (f (x)) , estou representando o valor absoluto de sin ( x ), então o gráfico se parece com este. Eu tenho um intervalo aqui que vai de 0 a 1 e um domínio que cobre todo o x . Bem, isso faz sentido. E se eu olhar para f (g (x)) , então a função vai ser seno do valor absoluto de x, sin (abs ( x )).
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Para o valor absoluto de x , você pode tomar qualquer coisa como entrada, então o domínio terá todos os valores de x , e a faixa de abs ( x ) será zero e superior, então qualquer coisa que seja um número positivo . Agora, o seno pode receber qualquer coisa, então o intervalo de abs ( x ) está dentro do domínio de sin ( x ), mas o que acontece com a saída? Qual é o alcance desta função composta? Vamos representar graficamente – isso é inesperado? Agora o intervalo está entre -1 e 1, que por acaso é o intervalo de f (x) .
Resumo da lição
Para recapitular, sabemos que funções mapeiam números para outros números, como y = f (x) . O domínio e o intervalo nos dizem os valores possíveis para a entrada e a saída de uma função.
Funções compostas pegam a saída de uma função e a usam como entrada para outra função, e nós escrevemos este f (g (x)) . Vamos avaliar f (g (x)) de dentro para fora, então vamos avaliar g (x) antes de avaliar f (x) . E também sabemos que f (g (x)) não é igual a g (f (x)) .