Mapas e Gráficos
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Você já comparou mapas de séculos atrás com o Google Earth? Os caras daquela época estavam errados! Quer dizer, olhe para esse cara. Ele diz que a Califórnia é uma ilha. Bem, eu acho que eles realmente não tinham GPS para dar a latitude e longitude quando estavam mapeando as linhas costeiras. Latitude e longitude são importantes porque fornecem as coordenadas de cada ponto do mapa; eles permitem que você identifique um único ponto com apenas um conjunto de números: uma latitude e uma longitude. Com uma latitude e uma longitude, você pode identificar qualquer local no globo. Por exemplo, São Francisco está 37 graus ao norte do equador e 122 graus a oeste da Inglaterra. Não há nenhuma outra cidade exatamente nesta latitude e longitude.
Em matemática, muitas vezes usamos um plano cartesiano como o nosso mapa, e x e y pontos em vez de longitude e latitude. Nós desenhamos um mapa matemático com um eixo x – que é como o equador – e um eixo y perpendicular – que é como o meridiano principal, aquela coisa que atravessa a Inglaterra. Podemos então traçar qualquer ponto neste gráfico , ou mapa, identificando sua localização única, sua longitude e latitude, se você quiser. Portanto, cada ponto tem um local x , definido como a distância do eixo y . O x-location terá um valor positivo se estiver à direita do eixo y e um valor negativo se estiver à esquerda do eixo y . O próprio eixo y está em x = 0. Este ponto também tem uma localização y ; esta é a distância do eixo x . É como se você se afastasse do equador ao norte. É atribuído um valor positivo se estiver acima do eixo xe um valor negativo se estiver abaixo do eixo x . Este eixo x é definido como y = 0. Isso significa que podemos plotar qualquer ponto, representando-o no que é chamado de par ordenado: ( x , y) Por exemplo, podemos plotar o ponto (5,4), que é um par ordenado. (5,4) é onde x = 5 ey = 4. Então, vou contar 5 a partir do eixo y e vou contar 4 a partir do eixo x .
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Pares e quadrantes ordenados
Você pode fazer isso com quase qualquer ponto, como (3,1). Isso é 3 para a direita e 1 para cima. O ponto (-1,0) é 1 para a esquerda e 0 para cima. Lembre-se de que o primeiro número o moverá para a esquerda e para a direita e o segundo número o moverá para cima e para baixo. O ponto (2, -2) vai me mover 2 para a direita e 2 para baixo. O ponto (0,0) é onde o x e y eixos se encontram. Isso tem um nome muito especial, a origem . Em torno da origem, separados por o x – e y -axes, são os quatro quadrantes: I, II, III e IV.
O primeiro quadrante é onde ambos o x e y valores são todos positivos; eles são todos maiores que zero. Portanto, seria como o encontro do hemisfério norte com o hemisfério oriental. No segundo quadrante, todos os valores de x são negativos, porque estamos do lado esquerdo do eixo y , e todos os valores de y são positivos, porque estamos acima do eixo x . É como onde os hemisférios norte e ocidental se encontram. No terceiro quadrante, x <0 ey <0. É como onde os hemisférios sul e ocidental se encontram. Finalmente, onde os hemisférios oriental e sul se encontram, temos o quarto quadrante, onde x> 0 e y <0.
Normalmente queremos plotar linhas e curvas, não apenas pontos únicos. Imagine os conflitos com o Canadá se pudéssemos traçar alguns pontos para representar nossa fronteira! Na realidade, existe um número infinito de pontos infinitamente próximos uns dos outros. Portanto, se eu aumentar o zoom na borda, pode parecer que há pontos, mas esses pontos se tocam. Eles são contínuos, representando uma linha.
Funções Gráficas
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O mesmo se aplica às equações regulares, como y = 2 x . Há um ponto, y , para cada valor único de x . Podemos plotar essa equação simplesmente plotando um número de pontos, cada um dos quais satisfaz esta equação. Vamos desenhar alguns deles. Quando x = 0, y = 0. Bem, isso está na origem. Quando x = 1, y = 2. Quando x = pi , que ainda é apenas um número, y = 2 ( pi ). Se x = -1 / 3, y = -2 / 3. Tudo o que estou fazendo é conectar diferentes valores de x e ver o que yé. Posso plotar esses pontos em um gráfico e, se plotar o suficiente desses pontos, posso conectá-los com uma curva suave.
Usamos a mesma ideia para equações como y = x ^ 2. Aqui, se x = 0, y = 0 satisfaz esta equação, porque 0 = 0. Novamente, vamos apenas passar pela origem. Quando x = 1, y = 1. Quando x = 2, y = 2 ^ 2 ou 4. Quando x = 3, y = 9. Quando x = -1, y = 1, e assim por diante. Posso conectá-los com uma curva suave e meu gráfico se parece com isso.
Podemos fazer isso para uma função mais complexa, como y = ( x – 1) ^ 3 – x ^ 2 + x + 2. Vamos criar uma tabela de valores. Quando x = -2, y = -31; então é todo o caminho até aqui. Quando x = -1, y = -8; que está aqui. Em x = 0, y = 1, então não estamos passando pela origem; (0,0) não satisfaz isso. Quando x = 1, y = 2. Quando x = 2, y = 1. Quando x = 3, y = 4. E quando x = 4, y é todo o caminho até aqui em 17.
| x | y |
|---|---|
| -2 | -31 |
| -1 | -8 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 4 | 17 |
Posso conectá-los com uma curva suave e obter esse tipo de estrutura de loop. Você verá isso com bastante frequência ao ver x ^ 3 = y .
Às vezes, queremos plotar algo como y = 4. Bem, o que é x neste caso? Vamos procurar pares ordenados que satisfaçam esta equação. Bem, quando x = 0, y será 4. Quando x = 1, y = 4. Quando x = -32, y = 4. Realmente não importa o que x é; y é sempre 4. Isso nos dará uma linha horizontal, porque x pode ser qualquer coisa, mas y sempre tem que ser 4.
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Resumo da lição
Então, vamos revisar. Faremos gráficos de equações e pontos, principalmente em um plano cartesiano, que é igual ao nosso mapa. Temos um eixo x horizontal , que é como o equador, e um eixo y vertical , que é como o meridiano principal. Cada ponto em nosso plano tem uma coordenada representada por algum par ordenado de um valor xe um valor y . É como um ponto em um mapa com latitude e longitude.
A origem é o ponto onde os dois eixos se cruzam, então está em (0,0). Além disso, os eixos dividem nosso mapa, ou gráfico , em quatro quadrantes diferentes: I, II, III e IV. Finalmente, se você deseja plotar uma equação, você deseja criar um monte de pares ordenados que satisfaçam essa equação. Então, você deseja conectar esses pares ordenados usando uma linha suave. Apenas certifique-se de que os pares ordenados estão muito próximos um do outro antes de conectá-los.