O que torna as funções pares tão especiais?
Jesse está na escola primária e quer desenhar um coração no Dia dos Namorados, mas ele quer que seja perfeito. O que ele faz? Ele dobra o papel ao meio, desenha um lado do coração a lápis, dobra o papel e esfrega o dedo sobre o papel para transferir algumas das marcas do lápis para o outro lado. Quando ele o desdobra, ele tem um coração perfeitamente simétrico! Até as funções compartilham a mesma propriedade do desenho de um coração de Jesse – que ao longo de alguma linha (o eixo y , neste caso) os lados esquerdo e direito parecem idênticos.
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Uma função define uma relação entre duas variáveis (frequentemente x e y ), onde uma variável depende outro. Quando dizemos que y é uma função de x , estamos dizendo que quando inserimos um valor para x na função, a função produzirá um (e apenas um) valor para y . Por exemplo, quando digitalizamos um código de barras no supermercado, obtemos o preço desse item. Quando uma caixa de cereal é lida, a entrada é o código de barras. O preço único é então emitido. Isso significaria que o preço é uma função do código de barras.
É importante notar que para que isso seja uma função, podemos ter apenas uma saída. Não faria sentido escanear uma caixa de cereal e obter dois preços, faria? Não! Apenas um preço deve ser listado para cada item. Isso garante que não apenas tenhamos um relacionamento, mas que o relacionamento seja uma função.
Definindo funções pares
Existem duas maneiras de descrever funções pares. Um é graficamente, o outro é algebricamente.
Se olharmos para o gráfico de uma função par, notaremos que o gráfico parece idêntico à esquerda e à direita do eixo y . Em outras palavras, o eixo y atua como um espelho para a função. Gráficos de funções com simetria do eixo y são mostrados abaixo.
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Digamos que você esteja caminhando ao longo do eixo x . Você começa na origem, se move 1,5 metro para a direita e para. Você então olha diretamente para cima (ou para baixo) para o gráfico da função e toma nota de sua altura (o valor y da função quando x = 5). Você então volta para a origem e se move 5 pés para a esquerda e para. Você está agora em x = -5. Quando você olhar para o gráfico novamente, a função terá o mesmo valor y de quando x estava em cinco positivo! Isso nos ajuda a entender a definição algébrica de uma função par.
Uma função par escrita algebricamente seria semelhante a esta:
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O que significa que o valor y da função é o mesmo em x positivo e x negativo .
Eu tenho uma função uniforme?
Se você quiser determinar se tem uma função uniforme … como você faz isso? Bem simples! Vamos aproveitar a propriedade f ( x ) = f (- x ). Veremos a regra (ou equação) para a função e substituiremos x por -x . Se, após simplificarmos, voltarmos à nossa função original f ( x ), significa que f ( x ) = f (- x ) e temos uma função par!
Exemplo 1:
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Notamos que usando álgebra, f (- x ) = f ( x ) que indica que f ( x ) = x ^ 2 é uma função par. Além disso, o gráfico exibe a simetria do eixo y , que também é consistente com uma função par.
Exemplo # 2:
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Trabalhando cuidadosamente com as propriedades das funções de valor absoluto, vemos que g (- t ) = g ( t ). Este gráfico também mostra a simetria sobre o eixo y . Ambos mostram que g ( t ) = | t | é uma função uniforme.
Exemplo # 3
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Nesse caso, não temos a condição necessária em h ( x ) para ser uma função par. Observe também que o gráfico não tem simetria em relação ao eixo y , indicando também que não é uma função par.
Exemplo # 4
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Agora, se você ainda não lidou com trigonometria, tudo bem! Se você der uma olhada no gráfico acima, notará a simetria em relação ao eixo vertical. Isso sugere que cos ( x ) também é uma função par! Portanto, tem a propriedade cos (- x ) = cos ( x ).
Resumo da lição
Até mesmo funções podem ser determinadas algebricamente usando a propriedade f ( x ) = f (- x ) ou graficamente observando a simetria sobre o eixo y . Ao lembrar as propriedades básicas das funções pares, é fácil identificá-las!