Funções pai
Quando você ouve o termo função parental, pode ficar inclinado a pensar em duas funções que se amam muito, criando uma nova função.
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Bem, isso não é exatamente correto; no entanto, existem algumas semelhanças que podemos observar entre nossos próprios pais e as funções dos pais. Em matemática, temos certos grupos de funções que são chamados de famílias de funções. Assim como nossas próprias famílias têm pais, famílias de funções também têm uma função de pai.
As semelhanças não param por aí! Da mesma forma que compartilhamos características, genes e comportamentos semelhantes com nossa própria família, as famílias de funções compartilham propriedades algébricas semelhantes, têm gráficos semelhantes e tendem a se comportar da mesma forma. Um exemplo de família de funções são as funções quadráticas. Todas as funções quadráticas têm um expoente mais alto de 2, seus gráficos são todos parábolas, por isso têm a mesma forma e todos compartilham certas características.
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Conforme mencionado acima, cada família de funções tem uma função pai. Uma função pai é a função mais simples que ainda satisfaz a definição de um certo tipo de função. Por exemplo, quando pensamos nas funções lineares que constituem uma família de funções, a função pai seria y = x . Esta é a função linear mais simples.
Além disso, todas as funções dentro de uma família de funções podem ser derivadas da função pai, levando o gráfico da função pai por meio de várias transformações. Essas transformações incluem deslocamentos horizontais, alongamento ou compressão vertical ou horizontal, refletindo sobre os eixos x ou y , e deslocamentos verticais. Por exemplo, no gráfico acima, vemos que o gráfico de y = 2 x ^ 2 + 4 x é o gráfico da função pai y = x^ 2 mudou uma unidade para a esquerda, esticou-se verticalmente e desceu duas unidades. Essas transformações não alteram a forma geral do gráfico, portanto, todas as funções em uma família têm a mesma forma e são semelhantes à função pai.
Algebricamente, essas transformações correspondem à adição ou subtração de termos à função pai e à multiplicação por uma constante. Por exemplo, a função y = 2 x ^ 2 + 4 x pode ser derivada tomando a função pai y = x ^ 2, multiplicando-a pela constante 2 e, em seguida, adicionando o termo 4 x a ela.
Exemplo: funções exponenciais
Para ilustrar isso, vamos considerar funções exponenciais. Funções exponenciais são funções da forma y = um b ^ x , onde um e b são ambos positivos (maior do que zero), e b não é igual a um. Basicamente, funções exponenciais são funções com a variável no expoente. O número b é a base da função exponencial. Vamos considerar a família de funções que são funções exponenciais com base 2. Algumas funções que estão nesta família de funções são mostradas abaixo.
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Observe que a função exponencial mais simples na família acima é y = 2 ^ x . Esta é a função principal da família de funções. Em geral, a função exponencial mais simples é y = b ^ x onde b > 1. Esta é a função pai das funções exponenciais com base b . O gráfico a seguir exibe os gráficos de todas as funções listadas acima. Observe que todos eles têm o mesmo formato da função pai e que todos podem ser derivados executando as transformações mencionadas anteriormente para a função pai.
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Vejamos mais alguns exemplos para aprofundar nossa compreensão das funções pai.
Mais exemplos
1.) Funções cúbicas são funções que são polinômios com o expoente mais alto igual a 3. Por exemplo, y = 4 x ^ 3 + 2 x – 1 é uma função cúbica. As funções cúbicas formam uma família de funções. Qual seria a função pai para funções cúbicas?
Solução: a função pai seria a função cúbica mais simples. Esse é o polinômio mais simples com o maior expoente igual a 3. Isso seria y = x ^ 3.
2.) No gráfico a seguir, qual das funções a seguir não está na mesma família de funções que as outras?
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Solução: em uma família de funções, todos os gráficos da função têm a mesma forma. É fácil ver que a função C não tem a mesma forma que as funções A, B e D. Portanto, a função C não está na mesma família que as funções A, B e D.
3.) As funções a seguir estão na família de funções de funções de valor absoluto. Qual deles é a função pai?
a.) y = | x + 4 | – 7
b.) y = | x |
c.) y = 2 | x | + 3
d.) y = 4 | x | – 19
Solução: a função de valor absoluto mais simples é y = | x |, então esta é a função pai. Vemos que podemos derivar todas as outras funções mostradas de y = | x |. Por exemplo, para obter y = 2 | x | + 3, tomaríamos y = | x |, multiplique o valor absoluto por 2 e adicione 3 ao resultado. Isso nos daria y = 2 | x | + 3.
Resumo da lição
Existem muitas famílias de funções . Alguns exemplos incluem funções lineares, funções quadráticas, funções cúbicas, funções exponenciais, funções logarítmicas, funções radicais e funções racionais, entre muitos mais. Cada uma dessas famílias de funções tem funções paique são os mais simples do grupo, e podemos derivar todas as funções em uma família executando transformações simples no gráfico da função pai. Essas transformações correspondem algebricamente à adição ou subtração de termos à função ou à multiplicação por uma constante. Assim como todos nós compartilhamos certas características com nossos pais, os gráficos em uma família de funções compartilham certas características com a função parental. Com as informações desta lição, devemos agora estar familiarizados com o que são funções pai e como identificá-las.