O que torna as funções ímpares tão especiais?
Antes de começarmos a falar sobre funções estranhas, vamos relembrar rapidamente sobre funções em geral! Uma função descreve uma relação entre duas variáveis, muitas vezes, x e y , onde uma dessas variáveis depende da outra. Se dissermos que y é uma função de x , estamos dizendo que o valor de saída de y depende do valor de x. Uma propriedade importante de uma função é que pode haver um (e apenas um) valor de saída. Por exemplo, quando envio um pacote para um amigo, o valor que tenho que pagar para enviar o pacote depende diretamente de quanto pesa o pacote. Quando a empresa de transporte pesa o pacote, eles me dão exatamente um preço sobre quanto custará para enviá-lo. Isso garante que o custo de envio seja uma função do peso do pacote.
Existem algumas funções lá fora, com relações muito especiais entre o x – e y -Valores. Por exemplo, digamos que o Homem do Triângulo e a Garota do Círculo estivessem ambos caminhando sobre os eixos cartesianos (representados no gráfico abaixo). Ambos começam na origem, mas sempre fazem o oposto um do outro. O Triangle Man gosta de se mover para a direita e a Circle Girl para a esquerda. Eles também são livres para se mover para cima e para baixo como quiserem, mas se o Homem do Triângulo subir 3, a garota do Círculo descerá 3; se ele desce 7, ela sobe 7 e assim por diante. Depois de um tempo seus caminhos criam uma curva que tem simetria de origem , onde os valores positivos e negativos de x correspondem a valores opostos em y. A simetria de origem é representativa de uma subclasse de funções chamadas funções ímpares .
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Outra maneira de ver a simetria de origem de funções ímpares é usando a ideia de reflexos. Vamos colocar uma curva sobre o eixo de coordenadas no primeiro quadrante (gráfico (a) abaixo), em que ambos X e Y são positivos. Em seguida, refletiremos a curva através do eixo y no segundo quadrante (gráfico (b) ). Então, pegaremos essa curva refletida azul e usaremos o eixo x como um espelho, refletindo a curva azul no terceiro quadrante para fazer a curva verde (gráfico (c) ). Se apagarmos a curva azul que tínhamos no quadrante dois, e deixarmos o resto (gráfico (d)), temos uma curva que agora tem simetria de origem – o lado esquerdo é uma reflexão dupla (horizontal e verticalmente) do lado direito.
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Definindo Funções Odd
Existem duas maneiras de descrever funções estranhas – graficamente e algebricamente.
Se olharmos para o gráfico de uma função ímpar, notaremos que ela tem simetria de origem. O x e y eixos juntos formam um conjunto de espelhos para fazer o gráfico a mesma aparência em toda a origem. Gráficos de funções com simetria de origem são mostrados abaixo.
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Esses gráficos, bem como o gráfico formado por nossos amigos Triangle Man e Circle Girl, podem nos ajudar a construir a definição algébrica de uma função ímpar: o valor y da função em x negativo é sempre o sinal oposto ao valor y de a função em x positivo . Ou, algebricamente, uma função ímpar é uma função tal que
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Eu tenho uma função ímpar?
Se você deseja determinar se tem uma função ímpar, como o faz? Fácil! Vamos aproveitar a propriedade f (- x ) = -f ( x ). Veremos a regra (ou equação) para a função e substituiremos x por -x . Se, depois de simplificarmos, obtivermos o negativo de nossa função original f ( x ), isso significa que f (- x ) = -f ( x ), e temos uma função ímpar!
Exemplo 1:
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Notamos que usando álgebra, f (- x ) = -f ( x ), que indica que f ( x ) = 3 ^ 2, é uma função ímpar. Além disso, o gráfico exibe a simetria da origem, que também é consistente com uma função ímpar.
Exemplo # 2:
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Ao combinar os sinais negativos, vemos que g (- t ) = -g ( t ). Este gráfico também mostra a simetria em relação à origem. Ambos mostram que g ( t ) = -1 / t é uma função ímpar.
Exemplo # 3:
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Nesse caso, não temos a condição necessária em h ( x ) para ser uma função ímpar. Observe também que o gráfico não possui simetria em relação à origem, indicando também que não é uma função ímpar.
Exemplo # 4:
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Agora, se você ainda não lidou com trigonometria, tudo bem! Se você der uma olhada no gráfico acima, notará a simetria sobre a origem. Isso sugere que sin ( x ) também é uma função estranha! Portanto, ele tem a propriedade sin (- x ) = -sin ( x ).
Resumo da lição
Funções ímpares podem ser determinadas algebricamente usando a propriedade f ( x ) = -f ( x ) ou graficamente observando a simetria sobre a origem. Ao lembrar as propriedades básicas de funções ímpares, é fácil identificá-las!