Função de Etapa
Matematicamente falando, uma função de etapa é uma função cujo gráfico parece uma série de etapas porque consiste em uma série de segmentos de linha horizontal com saltos entre eles. Por esse motivo, às vezes também é chamada de função de escada.
Uma função de etapa tem um valor constante em intervalos dados, mas a constante é diferente para cada intervalo. O valor constante em cada intervalo cria a série de linhas horizontais, e o fato de que a constante é diferente para cada intervalo cria os saltos entre cada segmento de linha horizontal. É por isso que o gráfico de uma função degrau se parece com um conjunto de escadas.
Para nos ajudar a entender melhor essa definição, vamos considerar um exemplo do mundo real. Suponha que eu comece um negócio de limpeza. Decido cobrar de cada cliente com base em quantas horas trabalho para esse cliente.
Minha estrutura de carga é a seguinte:
- Menos de uma hora: $ 10,00
- Uma hora até duas horas: $ 20,00
- Duas horas a três horas: $ 30,00
- Três horas a quatro horas: $ 40,00
Isso significa que se eu trabalhar de 1 a 59 minutos, cobro US $ 10,00. Se eu trabalhar de 1 hora a 1 hora e 59 minutos, cobro US $ 20,00 e assim por diante. Vemos que a quantidade que cobro permanece constante em cada intervalo de uma hora, mas varia em cada um desses intervalos, porque aumenta a cada hora. Aqui está o gráfico correspondente a este exemplo.
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É fácil ver neste gráfico por que uma função degrau às vezes é chamada de função escada; parece exatamente um lance de escadas.
Maior Função Inteira
Em matemática, um exemplo comum usado para introduzir funções escalonadas é a função de maior número inteiro (também chamada de função base). A maior função do inteiro é freqüentemente representada como x com colchetes inferiores ao seu redor.
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Ele mapeia cada número real x para o maior inteiro que é menor ou igual a x . Tudo o que colocamos na função do maior inteiro, obtemos o maior inteiro que é menor ou igual a essa entrada como nossa saída. Aqui está o gráfico da função do maior inteiro.
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É fácil ver que a função do maior inteiro é uma função degrau de seu gráfico.
Função de menor número inteiro
Vamos considerar outro exemplo de uma função degrau muito semelhante à função do maior inteiro. É chamada de função de menor número inteiro (também conhecida como função de teto). A função de menor número inteiro é frequentemente representada como x com colchetes superiores ao seu redor.
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A função de menor número inteiro é uma função de etapa que atribui, ou mapeia, cada número real x para o menor inteiro que é maior ou igual a x . Tudo o que colocamos na função de menor número inteiro, obtemos o menor inteiro que é menor ou igual a essa entrada como nossa saída. A função de menor número inteiro é mostrada no gráfico na tela.
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Vemos que o gráfico da função de menor número inteiro se parece com um conjunto de escadas, como deveria, já que se trata de uma função de degrau.
Observe que a função floor contém o ponto final esquerdo de cada intervalo e não o direito, mas a função teto contém o ponto final direito de cada intervalo e não o esquerdo; é daí que vêm seus nomes. A função de teto contém o ponto final maior de cada intervalo (o teto), e a função de chão contém o ponto final menor de cada intervalo (o chão). Nosso exemplo de negócio de limpeza é uma variação da função de chão porque contém o ponto final menor de cada intervalo.
Função de Heaviside
Outro exemplo muito simples de uma função de degrau é a função de degrau do heaviside , também conhecida como função de degrau da unidade e é usada em engenharia e no estudo de correntes elétricas. Esta função, denotada por H , é uma função definida da seguinte forma:
- Se x <0, então H (x) = 0
- Se x = 0, então H (x) = 1/2
- Se x > 0, então H (x) = 1
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Por exemplo, H (4,5) = 1, H (-2,35) = 0 e H (0) = 1/2. Assim, a função de Heaviside possui apenas uma etapa, conforme mostrado em seu gráfico, mas ainda satisfaz a definição de uma função de etapa.
Resumo da lição
Em matemática, a função degrau é uma função que tem um valor constante ao longo de intervalos dados, com o valor constante variando entre os intervalos. O nome desta função vem do fato de que, quando você representa a função, ela se parece com um conjunto de degraus ou escadas.
Exploramos três exemplos clássicos de funções de etapa. A função do maior inteiro é definida como o maior inteiro menor ou igual à nossa entrada. A função de menor número inteiro é definida como o menor número inteiro maior ou igual à nossa entrada. A função heaviside é igual a 0 quando nossa entrada é menor que 0, igual a 1/2 quando nossa entrada é igual a 0, e igual a 1 quando nossa entrada é maior que 0.
Termos chave
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Função de etapa – uma função cujo gráfico parece uma série de etapas, pois consiste em uma série de segmentos de linha horizontal com saltos entre
Maior função de inteiro – também conhecida como função de base; esta função é um exemplo comum usado para introduzir funções de etapa
Função de menor número inteiro – também conhecida como função de teto; esta é uma função degrau que atribui, ou mapeia, cada número real x ao menor inteiro que é maior ou igual a x
Função de etapa de Heaviside – a função de etapa da unidade; usado em engenharia e no estudo de correntes elétricas
Resultados de Aprendizagem
Depois de ver a lição sobre funções de etapa, confirme o que você aprendeu fazendo o seguinte:
- Aponte as funções das etapas em um gráfico
- Identifique e defina três tipos diferentes de funções de etapa