Funções Cúbicas
A Terra em que vivemos é um planeta incrivelmente grande. Você já se perguntou quanto espaço existe dentro da Terra? Em outras palavras, você já se perguntou qual é o volume da Terra?
A resposta está no que é chamado de função cúbica em matemática. Uma função cúbica pode ser descrita de algumas maneiras diferentes. Tecnicamente, uma função cúbica é qualquer função da forma y = a x 3 + b x 2 + c x + d , onde a , b , c e d são constantes e a não é igual a zero. Se quiséssemos descrever esse tipo de função em palavras em vez de fórmulas, diríamos que uma função cúbica é qualquer função polinomial em que o expoente mais alto é igual a 3.
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Funções cúbicas: exemplo de caixa
Vamos considerar um exemplo clássico de uma função cúbica. Suponha que você esteja se movendo e precise colocar alguns de seus pertences em uma caixa, mas suas caixas acabaram. No entanto, você tem um grande pedaço de papelão com comprimento de 36 polegadas e largura de 30 polegadas, uma tesoura e alguma fita adesiva.
Você está com sorte! Você pode fazer uma caixa com esses materiais cortando quadrados em cada um dos cantos do pedaço de papelão e depois dobrando os lados para cima e prendendo os lados.
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Ótimo! Já sabemos fazer uma caixa, mas percebemos que precisamos saber qual é o volume da nossa caixa para saber se nossos pertences cabem dentro dela. Podemos descobrir isso usando uma função cúbica que representa o volume de nossa caixa como uma função do comprimento dos lados dos quadrados que recortamos de cada canto. Vamos chamar o comprimento dos lados de cada um dos quadrados recortados dos cantos de x .
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Quando cortamos os cantos quadrados e dobramos os lados, a base da nossa caixa tem dimensões iguais ao comprimento das laterais da nossa peça de papelão menos 2 x .
Isso ocorre porque pegamos dois comprimentos de x de cada um dos lados do pedaço de papelão quando cortamos os quadrados em cada canto. Da mesma forma, a altura da nossa caixa é x , porque quando dobramos os lados da caixa, o comprimento dos lados dos quadrados que cortamos de cada canto torna-se nossa altura.
Vemos que temos uma caixa com altura x , comprimento 36 – 2 x e largura 30 – 2 x . O volume da caixa é dado pela fórmula comprimento x largura x altura, então temos:
V = (36 – 2 x ) (30 – 2 x ) ( x )
Multiplicando isso dá:
V = 4 x 3 – 132 x 2 + 1080 x
Esta função é um polinômio com seu maior expoente igual a 3, então temos uma função cúbica. Podemos calcular nosso volume com base no tamanho que decidimos cortar nossos cantos quadrados. Por exemplo, se decidíssemos cortar nossos quadrados para terem comprimento lateral de 10 polegadas, o volume da nossa caixa seria:
V = 4 (10) 3 – 132 (10) 2 + 1080 (10) = 4000 – 13.200 + 10.800 = 1600
Se este não for o volume que queremos, podemos ajustar o tamanho dos cantos quadrados que cortamos de acordo, então vemos que esta é uma fórmula muito útil.
Funções cúbicas: mais exemplos
As funções cúbicas aparecem bastante em fórmulas de volume e aplicativos. Por exemplo, o volume de uma esfera em função do raio da esfera é uma função cúbica. Da mesma forma, o volume de um cubo em função do comprimento de um de seus lados é uma função cúbica.
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Podemos usar essas funções cúbicas para calcular o volume de esferas e cubos. Considere um cubo com comprimento lateral de sete centímetros. Colocando sete em nossa fórmula de volume do cubo, vemos que o volume desse cubo seria 7 * 7 * 7 = 343 centímetros cúbicos.
Volume da Terra
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Agora vamos voltar ao exemplo da Terra. Agora temos as ferramentas para calcular o volume da Terra. Sabemos que é uma esfera, então podemos realmente calcular o volume da Terra se conhecermos o raio, a distância entre o centro da Terra e a superfície da Terra.
Essa distância é de aproximadamente 3.960 milhas, mais ou menos algumas milhas. Portanto, usando a função cúbica que representa o volume de uma esfera, podemos calcular o volume aproximado da Terra a ser:
(4/3) π * (3960) 3 = cerca de 260 bilhões de milhas cúbicas
Uau, tudo isso sob nossos pés! Sabíamos que a Terra era grande, mas isso realmente a coloca em perspectiva.
Representando Gráficos de Funções Cúbicas
Ao tentar entender os dados do mundo real, a capacidade de reconhecer padrões visuais pode ser de grande ajuda. Traçar uma função em um gráfico nos permite traduzir essa função em um padrão visual.
Vamos ver alguns exemplos de como as funções cúbicas se parecem quando representadas graficamente. Começaremos com o mais básico:
y = x 3
Se inserirmos os inteiros de -5 a 5, obteremos as seguintes coordenadas para plotar em nosso gráfico:
- (-5, -125)
- (-4, -64)
- (-3, -27)
- (-2, -8)
- (-1, 1)
- (0, 0)
- (1, 1)
- (2, 8)
- (3, 27)
- (4, 64)
- (5, 125)
Plote essas coordenadas e obteremos o seguinte padrão:
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Observe como o padrão é centralizado em um único ponto e se estende para cima e para baixo a partir desse ponto. Ele se estende infinitamente em ambas as direções. Se a proporção do eixo y para o eixo x fosse 1: 1, o padrão seria mais íngreme e estreito.
O gráfico de uma função cúbica tem um ponto central a partir do qual se estende infinitamente para cima e para baixo, cruzando o eixo x pelo menos uma vez. Este ponto central é denominado ponto de inflexão .
No caso de y = x 3 , o ponto de inflexão são as coordenadas (0, 0), mas poderia estar em outro lugar. Por exemplo, existe a função cúbica completa y = x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27.
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O padrão é a mesma forma do primeiro, mas com um ponto de inflexão diferente. Isso porque essa segunda função cúbica pode ser reescrita como y = ( x +3) 3 , o que nos diz que seu padrão é o de y = x 3 com deslocamento 3 pontos para a esquerda.
Esteja ciente de que nem todas as funções cúbicas têm uma forma tão suave quanto as duas mencionadas. Verifique y = x 3 + 2 x 2 – 16 x :
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Observe como o padrão cruza o eixo x três vezes, criando duas lombadas.
Resumo da lição
Uma função cúbica é qualquer função da forma y = a x 3 + b x 2 + c x + d , onde a , b , c e d são constantes e a não é igual a zero, ou funções polinomiais com o maior expoente igual a 3.
Quando representada graficamente, uma função cúbica forma um padrão com um ponto de inflexão , ou ponto central, a partir do qual se estende infinitamente para cima e para baixo, e o padrão cruza o eixo x pelo menos uma vez. As funções cúbicas são extremamente prevalentes em aplicações que envolvem volume. Eles também aparecem na química, física, engenharia e muitas outras ciências.