Composição de Funções
Vamos supor que temos duas funções – digamos f ( x ) = x ^ 2 e g ( x ) = x + 3. Podemos formar uma nova função, chamada de composição , colocando uma função dentro da outra. Vamos ver o que acontece quando tentamos colocar g ( x ) dentro de f ( x ).
Em vez de inserir um x na função f ( x ), inseriremos g ( x ) e escreveremos como f (g ( x )). Ao compor funções, você deve sempre se lembrar de trabalhar de dentro para fora. Visto que sabemos que g ( x ) = x + 3, podemos substituí-lo por. Portanto, f (g ( x )) = f ( x + 3). Para terminar nossa composição, usamos o fato de que f ( x ) = x ^ 2 para avaliar f ( x + 3) = ( x + 3) ^ 2. Agora terminamos! Portanto, f (g ( x )) = f ( x + 3) = ( x + 3) ^ 2.
Agora, você pode estar pensando, » Como você avaliou f ( x + 3) = ( x + 3) ^ 2? » Aqui está um truque bacana que eu uso para fazer isso corretamente. Primeiro, escrevo f ‘( x ) = x ^ 2. Então, em todos os lugares que vejo um x , escrevo um conjunto de parênteses vazios. Então, eu escreveria f () = () ^ 2. Agora vejo que o que quer que esteja substituindo ox no interior de f ( x ), quero escrever que em todos os lugares tenho parênteses vazios. É assim que obtemos f ( x + 3) = ( x + 3) ^ 2.
Outro exemplo de função composta
Vejamos outro exemplo de função composta.
Suponha que f ( x ) = x – 5 e g ( x ) = x ^ 2 + x . Vamos encontrar g (f ( x )).
Lembre-se, temos que trabalhar de dentro para fora! Vamos primeiro substituir f ( x ). Obtemos g (f ( x )) = g ( x – 5).
Agora, se você gosta do meu truque de escrever parênteses vazios, podemos fazer isso e obter g () = () ^ 2 + (). Conectando x – 5, obtemos g ( x – 5) = ( x – 5) ^ 2 + x – 5. Se quisermos simplificar essa expressão, obteremos o seguinte: ( x – 5) ^ 2 + x – 5 = ( x – 5) ( x – 5) + x – 5 = x ^ 2 – 5 x – 5 x + 25 + x – 5 = x ^ 2 – 9 x + 20.
Portanto, g (f ( x )) = g ( x – 5) = x ^ 2 – 9 x + 20.
Também podemos encontrar g (f ( x )). Para este, vemos, f (g ( x )) = f ( x ^ 2 + x ) = x ^ 2 + x – 5. Observe que g (f ( x )) ≠ f (g ( x )). Portanto, é importante que componhamos nossas funções na ordem correta!
Composição de três ou mais funções
Até agora, examinamos a composição de duas funções. Funciona apenas com duas funções? Podemos compor três funções? Que tal quatro funções ?? E quanto a 3.456.193 funções?
Podemos compor quantas funções quisermos. Vejamos um exemplo.
Suponha que f ( x ) = 2 x + 1, g ( x ) = x ^ 2 + x , h ( x ) = 3 x . Encontre f (g (h ( x ))).
Lembre-se, quando avaliamos a composição de funções, temos que trabalhar de dentro para fora. Portanto, f (g (h ( x ))) = f (g (3 x )) = f ((3 x ) ^ 2 + 3 x ) = 2 ((3 x ) ^ 2 + 3 x ) + 1. Simplificando essa expressão, obtemos:
2 ((3 x ) ^ 2 + 3 x ) + 1 = 2 (9 x ^ 2 + 3 x ) + 1 = 18 x ^ 2 + 6 x + 1. Portanto, f (g (h ( x ))) = 18 x ^ 2 + 6 x + 1.
De funções compostas para funções separadas
O que você faria se alguém lhe desse uma função composta e lhe pedisse para trabalhar de trás para frente? Ou seja, se você recebesse uma função composta, poderia determinar quais funções foram inicialmente compostas entre si para criar a função fornecida?
Suponha que alguém lhe deu a função h ( x ) = (3 x – 5) ^ 2 e pediu a você para encontrar duas funções – f ( x ), g ( x ) – tais que h ( x ) = f (g ( x ) )
Para decompor uma função composta, ajuda primeiro a reconhecer uma possível função interna que pode ter sido a função que conectamos à outra. Nesse caso, nossa função interna será g ( x ), já que aquela está na barriga de f ( x ). Olhando para h ( x ) = (3 x – 5) ^ 2, decidimos que 3 x – 5 poderia ser nossa função interna. Ótimo!
Agora, vamos escolher nossa função externa, que neste caso é f ( x ). Para encontrar f ( x ), simplesmente olhe para h ( x ) = (3 x – 5) ^ 2, cubra a função interna em todos os lugares que você vê a função interna com sua mão, então escreva o que você vê e coloque um x em todos os lugares sua mão está. Ao fazer este processo com sucesso, devemos descobrir que f ( x ) = x ^ 2.
A melhor parte sobre decompor uma função composta é que sempre podemos verificar nossa resposta para ver se está correta. Vamos verificar! Vemos f (g ( x )) = f (3 x – 5) = (3 x – 5) ^ 2 = h ( x ). Fantástico! Nossas escolhas foram corretas.
E se o seu amigo dissesse: » Escolhi minha função interna como g ( x ) = 3 x »? O seu amigo começou mal e está prestes a falhar e queimar? De modo nenhum!
Se você escolher g ( x ) = 3 x , então podemos repetir o mesmo processo de antes e cobrir os 3 x com nossa mão e reescrever as peças restantes da função enquanto escrevemos um x onde nossa mão está. Encontraríamos então f ( x ) = ( x – 5) ^ 2. Podemos verificar esta resposta e ver que f (g ( x )) = f (3 x ) = (3 x – 5) ^ 2 = h ( x ), que é exatamente o que queríamos.
Portanto, ao decompor funções compostas, você pode ter várias respostas corretas.
Resumo da lição
Lembre-se de que, quando for solicitado a encontrar a composição das funções, trabalhe de dentro para fora. Dê um passo de cada vez e você ficará bem.
Quando você recebe uma função composta e é solicitado a trabalhar de trás para frente:
- Primeiro, encontre uma função interna.
- Em seguida, use o truque de encobrir a mão para encontrar corretamente a função externa.
- Finalmente, alegre-se! Você fez isso!