Matemática

Fractais em matemática: definição e descrição

Definição de Fractal

Em matemática, um fractal é um padrão sem fim. Os fractais são construídos pela repetição de algo indefinidamente. Você pode criar fractais com números ou imagens fractais. Existem até fractais que você pode ver no mundo natural. Sim, podemos ver a matemática em ação no mundo ao nosso redor.

Auto-similaridade

Como os fractais repetem algo continuamente, a característica definidora dos fractais é sua auto-semelhança. Isso significa que o objeto é semelhante ou exatamente igual a uma parte de si mesmo. Por exemplo, olhe para esta imagem. Olhando para a imagem inteira, você vê que tem o que chamamos de cinco pétalas em torno de um centro. Agora, olhe para cada pétala. Cada pétala é a imagem inteira em miniatura. Cada uma dessas pétalas possui cinco minipétalas em torno de seu próprio centro. Cada uma dessas minipétalas é novamente a imagem completa. Mas, desta vez, as minipétalas são uma versão menor da imagem inteira. Este é um fractal, porque um padrão se repete nas pétalas continuamente. O padrão fica menor a cada vez. Você pode dizer que o padrão em um fractal é repetido internamente continuamente. A mesma coisa na imagem é substituída pela mesma imagem. Nesse caso, a imagem que é substituída são as cinco pétalas ao redor de um centro. Cada pétala é substituída pela mesma imagem. Sim, podemos ficar infinitamente pequenos com essas substituições. Você pode pegar quase tudo e repetir internamente para obter um fractal. Veja esses outros exemplos de fractais. Curiosamente, esses fractais têm nomes especiais. Do topo, temos a ilha Gosper, o floco de neve de Koch e o fractal de caixa. Você pode ver como eles crescem no fractal, repetindo a mesma forma indefinidamente.

Na ilha de Gosper , a forma que se repete é o trapézio; essa é a metade superior do hexágono. Olhe para o hexágono agora. Corte a metade superior. Agora, pegue esta metade superior e diminua-a de tamanho para que a parte inferior tenha um terço do comprimento da parte superior do hexágono original. Agora, coloque este meio hexágono no meio do topo do hexágono e em cada lado do hexágono original. Agora você tem a segunda imagem da série. Em seguida, você pega o mesmo meio hexágono e diminui de tamanho novamente. Agora, adicione este meio hexágono à linha superior da segunda imagem e à linha à esquerda da linha superior e repita isso para cada protuberância na segunda imagem da série. Agora você tem a terceira imagem da série. Agora, continue repetindo esse padrão indefinidamente e você terá a ilha Gosper.

No floco de neve de Koch , é o triângulo que se repete. É muito semelhante à ilha Gosper, exceto que todo o nosso triângulo é o que está sendo repetido. Desta vez, nosso triângulo é encolhido em todas as etapas e colocado no meio de cada lado da nova imagem da série. Isso continua se repetindo e você obtém o floco de neve de Koch.

No fractal da caixa , é um quadrado. Em vez de o quadrado ser adicionado a cada lado da nova imagem, o fractal de caixa tem cada quadrado preto sendo dividido em uma grade 3 x 3 de ladrilhos pretos e brancos. Cada vez que você vê uma caixa preta, você a substitui pela grade 3 x 3 de ladrilhos preto e branco. Este é o fractal da caixa.

Fração Fractal

Você não só pode criar fractais com imagens, como o que acabamos de ver, mas também pode criar fractais a partir de números. Por exemplo, podemos criar uma fração muito complicada repetindo o mesmo padrão. Vamos começar com o número 2. Podemos reescrever o 2 como 4/2. Em seguida, podemos reescrever o 4/2 como 3/2 + 1/2. Então, nosso 2 agora é igual a 3/2 + 1/2. Agora podemos usar essa equação como nosso padrão sem fim. Sempre que virmos um 2, iremos substituí-lo por 3/2 + 1/2. Vamos fazer isso por duas rodadas e ver o que temos. Uau! Olhe para isso! A coisa toda no lado direito da equação é apenas 2 escrito na forma fractal. Só fizemos duas rodadas com ele. Você pode imaginar o que você ganharia se fosse para as rodadas três e quatro? Isso é chamado de fração fractal. Como você pode ver, pegamos nosso padrão e o repetimos continuamente. Continuamos substituindo o 2 por 3/2 + 1/2. Como você pode ver, podemos continuar fazendo isso indefinidamente. No entanto, acabaríamos tendo um pesadelo de uma fração para anotar. Curiosamente, existem programas de fractais que dependem da forma matemática dos fractais para produzir algumas imagens muito interessantes.

Fractais na Natureza

Já vimos fractais em imagens e frações. Vejamos um na vida real. Olhe para este brócolis. Acredite ou não, este é um brócolis de verdade que você pode comprar e comer. É chamado de brócolis Romanesco. Parece muito legal e é um bom exemplo de fractal natural. Você pode ver que cada pequeno cone se parece com o brócolis inteiro? Sim, este brócolis é um exemplo de semelhança pessoal.

Resumo da lição

Vamos revisar o que aprendemos. Em matemática, um fractal é um padrão sem fim. Como os fractais repetem algo indefinidamente, a característica definidora dos fractais é sua autossimilaridade . Isso significa que o objeto é semelhante ou exatamente igual a uma parte de si mesmo. Podemos criar imagens fractais e frações fractais. Existem também seres vivos que mostram fractais em ação.