Fórmula de juros compostos
Você já se perguntou como os bancos e empresas de cartão de crédito ganham tanto dinheiro enquanto aparentemente fazem tão pouco? Seu segredo? Juros compostos . É quando os juros são calculados sobre o principal e os juros acumulados em intervalos programados.
Vamos imaginar três irmãos. Cada um começa com $ 10.000.
Primeiro, está o Joe. Joe guarda seu dinheiro em uma caixa de sapatos debaixo da cama. Está sempre à mão, mas também não faz muito. Após 15 anos, Joe ainda tem $ 10.000. E cheira mais do que um pouco a pés.
Então há John. John coloca seu dinheiro em uma conta que rende juros simples a uma taxa de 5%. Isso significa que os juros são somados de uma só vez no final do período. Após 15 anos, ele tinha $ 17.500. Isso é ótimo! E sem cheiro de pés.
Finalmente, há Jim. Jim coloca seu dinheiro em uma conta com juros compostos. Tem a mesma taxa de 5% da conta de John, mas é composta mensalmente. Após 15 anos, ele tem $ 21.137. Uau! Ele mais que dobrou seu dinheiro. E, novamente, nenhum cheiro de pés.
Então, como Jim fez isso? Precisamos entender a fórmula dos juros compostos: A = P (1 + r / n ) ^ nt . A representa a quantidade de dinheiro que foi acumulada. P é o principal; esse é o valor com o qual você começa. O r é a taxa de juros. Este é um decimal; em outras palavras, se a taxa de juros for 9%, usamos 0,09 na equação. O n é o número de vezes que os juros são compostos a cada ano. Por fim, t é o tempo, em anos, do depósito ou do dinheiro emprestado.
É como uma grande tigela de sopa de letrinhas. Vamos revisar rapidamente as cartas. A para valor final. P para o principal ou montante inicial. R para taxa de juros. n para o número de vezes que os compostos de interesse. t para o tempo, em anos, o dinheiro permanece.
Problema prático # 1
Vamos tentar um problema prático: irá depositar $ 1.000 em uma conta que rende 4% de juros, compostos trimestralmente. Arredondando para o dólar mais próximo, qual será o saldo após 3 anos?
Em primeiro lugar, bom para Will por depositar algum dinheiro e deixá-lo render juros por 3 anos. OK, para resolver isso, vamos descobrir o que sabemos. Sabemos que o principal inicial é $ 1.000. Esse é o nosso P .
Também sabemos que a taxa de juros é de 4%. Se convertermos para um decimal, é 0,04. Então esse é o nosso r . Sabemos que o tempo total, ou t , é 3. Lembre-se, t é o tempo em anos.
E quanto ao n ? Esse é o número de vezes que os juros aumentam em um ano. Conhecemos a conta de Will compostos trimestralmente. Então, isso é 4 vezes por ano. Portanto, nosso n é 4.
Vamos configurar nossa equação. Começamos com A = P (1 + r / n ) ^ nt . Estamos tentando encontrar A , o saldo da conta ao final de 3 anos. Portanto, A = 1.000 (1 + 0,04 / 4) ^ (4 * 3).
Ao resolver uma equação como essa, a ordem das operações é crítica. Lembre-se de PEMDAS . Então, faça primeiro o que está dentro dos parênteses. Depois os expoentes, depois a multiplicação e a divisão. Depois, adição e subtração, embora não precisemos disso aqui. Acho que você poderia dizer PEMD , mas isso não é realmente uma palavra. OK, PEMDAS também não é uma palavra real, mas soa como uma.
De qualquer forma, vamos começar dentro dos parênteses. .04 / 4 é .01. Se adicionarmos 1, temos 1.01. Agora, 4 * 3 é 12, então precisamos resolver 1.01 com um expoente de 12. Isso é 1.1268 … e mais algumas coisas. Com isso ainda em nossa calculadora, vamos multiplicar por 1.000. Temos 1126,83. Arredondando para o dólar, isso dá $ 1.127.
Assim, após 3 anos, Will ganhou $ 127 extras além de seus $ 1.000 originais. E tudo o que ele precisava fazer era deixar o dinheiro sozinho.
Problema prático # 2
Como acontece com a maioria das coisas na vida, com os juros compostos, quanto mais dinheiro você tem, mais pode fazer. Vamos tentar um problema prático com um pouco mais de dinheiro envolvido: Sarah deposita $ 25.000 em uma conta que rende 6,5% de juros, compostos mensalmente. Arredondando para o dólar mais próximo, qual será o saldo após 8 anos?
Sarah é um pouco mais alta apostadora do que Will. Ela não só está depositando mais, como também encontrou uma ótima taxa de juros de 6,5% e uma conta que aumenta mensalmente. A frequência de composição é um grande negócio. Pense em como funcionam os juros compostos. Ele leva o seu interesse e o adiciona ao principal. Quanto mais isso acontecer, maior será o seu saldo e mais juros você ganha a cada período. Portanto, há um efeito de bola de neve.
Composições frequentes podem ser uma grande ajuda. Por outro lado, composições raras meio que frustram o propósito dos juros compostos. Se sua conta gerou juros compostos uma vez a cada 10 anos, bem, você teria que esperar 10 anos para ver qualquer benefício da composição.
Enfim, a conta de Sarah é composta mensalmente, ou 12 vezes por ano. Esse é o nosso n , e é ótimo. Sabemos que nosso P é de $ 25.000. A taxa de juros é de 6,5%. Como um decimal, isso é 0,065. Cuidado com o ponto decimal. Sempre o movemos dois lugares para a esquerda. Finalmente, ot é 8, para 8 anos. Sarah vai deixar esse dinheiro ficar por dois mandatos presidenciais ou duas Olimpíadas de Inverno. Ou talvez ela o deposite em 29 de fevereiro e espere alguns anos bissextos.
Vamos para a fórmula: A = P (1 + r / n ) ^ nt . Portanto, é A = 25.000 (1 + 0,065 / 12) ^ (12 * 8). Vamos ter cuidado com esses números grandes. 0,065 / 12 é 0,00541666 de repetição. Se adicionarmos 1 e então elevá-lo à 96ª potência, obtemos 1,6797 e mudamos. Esse parece um número relativamente pequeno. Quer dizer, é menos de 2. Mas vamos ver o que acontece quando o multiplicarmos por 25.000. É 41.991,72! Para o dólar mais próximo, isso dá $ 41.992. Então, Sarah ganhou quase $ 17.000 em juros. Uau.
Resumo da lição
Para resumir, aprendemos sobre juros compostos . São os juros calculados sobre o principal e os juros acumulados em intervalos programados.
A fórmula que usamos para encontrar os juros compostos é A = P (1 + r / n ) ^ nt . Nesta fórmula, A representa o montante total que se acumula. P é o principal original; esse é o dinheiro com que começamos.
O r é a taxa de juros. Convertemos a porcentagem em um decimal para este. Depois, há n , que é o número de vezes que os juros são compostos em um ano. Se for trimestral, n é 4. Se for mensal, n é 12. E t é o tempo, em anos, em que os juros aumentam.
Resultados de Aprendizagem
O estudo completo desta lição pode prepará-lo para fazer o seguinte:
- Forneça o significado de juros compostos
- Compare juros compostos com juros simples
- Escreva a fórmula de juros compostos
- Resolva problemas com esta fórmula usando a ordem das operações