Equações lineares
Uma equação linear é composta por um ou mais termos que são constantes ou o produto de uma constante e uma única variável (como 2 x ). Os termos da variável devem ser à única potência e não ao quadrado, ao cubo ou mais, mas a equação pode ter mais de uma variável.
As equações lineares têm muitos usos práticos; eles são amplamente usados em bancos e finanças e podem ser usados para ajudar nas finanças pessoais. Eles também têm aplicações científicas e de engenharia.
Aqui estão alguns exemplos de equações lineares :
y = 2 x + 5
3 m – 2 n = 6
a / 2 = b + 1
Aqui estão alguns exemplos de equações não lineares :
y ^ 2 = x + 2
√5 x – 2 y = 7
4 / x ^ 2 + 2 y + 3 = 0
Escrevendo Equações Lineares
Existem muitas maneiras diferentes de escrever uma equação linear, incluindo:
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Forma inclinação-interceptação : y = mx + b . Esta é a forma mais comum de uma equação linear, onde m é a inclinação eb é o intercepto y .
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Forma de inclinação do ponto : ( y – y 1) = m ( x – x 1)
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Forma geral : Ax + By + C = 0 ( A e B não podem ser zero)
Formulário Ponto-Inclinação
Na forma de inclinação de ponto (que é escrita assim: ( y – y 1) = m ( x – x 1)), y 1 é o valor de y do ponto conhecido na linha, m é a inclinação e x 1 é o valor x do ponto conhecido.
Esta forma de equação linear é derivada da equação para encontrar a inclinação de uma linha. A inclinação de uma linha é a proporção da elevação da linha em relação ao seu movimento horizontal ou, como é mais conhecido, elevação ao longo do percurso.
A equação para encontrar a inclinação de uma linha é:
m = ( y 2 – y 1) / ( x 2 – x 1)
Você pode reorganizar esta fórmula multiplicando ambos os lados das equações por ( x 2 – x 1) para obter:
( y 2 – y 1) = m ( x 2 – x 1)
A forma de inclinação de ponto de uma equação linear é mais útil para encontrar um ponto em uma linha quando você conhece a inclinação e um outro ponto na linha. Também pode ser usado para localizar um ponto na linha quando você conhece dois outros pontos.
Exemplos
Vamos agora examinar alguns problemas de exemplo para ajudar a consolidar tudo o que cobrimos.
Exemplo 1
Uma linha passa pelo ponto (1, 3) com uma inclinação de 2. Qual é a equação da linha? Comece usando a fórmula de inclinação de ponto para encontrar a equação.
( y – y 1) = m ( x – x 1)
y – 3 = 2 ( x – 1)
Em seguida, simplifique.
y – 3 = 2 x – 2
y = 2 x + 1
Exemplo # 2
Qual é a equação de uma linha que passa pelo ponto (-2, 4) e a origem? O primeiro passo é encontrar a inclinação da linha.
m = ( y 2 – y 1) / ( x 2 – x 1)
Não importa qual ponto é 1 ou 2; apenas lembre-se de mantê-lo consistente durante todo o problema.
m = (4 – 0) / (- 2 – 0)
m = 4 / -2 = -2
Portanto, a inclinação da linha que atravessa a origem e o ponto (-2, 4) no plano de coordenadas é -2.
A próxima etapa é encontrar a equação para essa linha. Para fazer isso, insira os números que você conhece na fórmula ponto-inclinação. Novamente, não importa qual ponto você usa, contanto que você seja consistente. Sempre que possível, use a origem porque os zeros facilitam a simplificação da equação.
( y – y 1) = m ( x – x 1)
y – 0 = -2 ( x – 0)
y = -2 x
Apenas para mostrar que qualquer um dos pontos funcionará, vamos conectar o ponto (-2, 4) e ver o que acontece.
y – (4) = -2 ( x – (-2))
y – 4 = -2 x – 4
y = -2 x
Exemplo # 3
Digamos que você esteja planejando uma arrecadação de fundos. Os dados de arrecadação de fundos anteriores revelam que quando 700 pessoas compareceram à arrecadação de fundos, o grupo ganhou $ 1000, e quando 1000 pessoas compareceram à arrecadação de fundos, o grupo ganhou $ 1500. Seu objetivo é ganhar $ 2500. Quantas pessoas precisarão comparecer à sua festa de arrecadação de fundos para atingir seu objetivo? (Assuma uma relação linear.)
Esse problema adiciona mais uma etapa ao fim do problema, mas a primeira coisa que precisamos fazer é encontrar a equação para a relação linear. Como sabemos dois pontos (participantes e dinheiro ganho), podemos usar esses pontos para encontrar a equação.
Primeiro, determine a inclinação da linha usando os pontos (700, $ 1000) e (1000, $ 1500).
m = (1500 – 1000) / (1000 – 700)
m = 500/300 = 1,6
Agora, use a inclinação para escrever uma equação:
( y – y 1) = m ( x – x 1)
y – 1000 = 1,6 ( x – 700)
y – 1000 = 1,6 x – 1120
y = 1,6 x – 120
Agora, para a etapa final: como sabemos que a meta de arrecadação de fundos é US $ 2.500, você pode inserir y na equação. Ele substitui y , porque é onde estava o dinheiro em todos os outros pontos usados até agora neste exemplo.
2500 = 1,6 x – 120
1,6 x = 2620
x = 1637,5
Resumo da lição
A forma de inclinação de ponto de uma equação linear é ( y – y 1) = m ( x – x 1) e é útil para encontrar a equação de uma linha quando você conhece um ponto ao longo da linha e a inclinação da linha. É derivado da equação para encontrar a inclinação de uma linha e tem usos práticos em muitas áreas da matemática e do mundo real.