Equações Polinomiais
Uma equação polinomial é uma equação que possui vários termos compostos de números e variáveis. Polinômios podem ter diferentes expoentes. O grau de um polinômio é seu expoente mais alto. O grau nos diz quantas raízes podem ser encontradas em uma equação polinomial. Por exemplo, se o expoente mais alto for 3, a equação terá três raízes.
As raízes da equação polinomial são os valores de x onde y = 0. Se conhecermos as raízes da equação polinomial, podemos usá-las para escrever a equação polinomial.
Exemplo 1
Vamos escrever uma equação polinomial com raízes 2, 3 e -1.
Primeiro, pegamos as raízes. Sabemos que x é igual a esses valores quando y = 0. Isso significa que podemos reescrever essa equação para que seja igual a 0, o que nos dá os fatores do polinômio. Os fatores de um polinômio são os termos que podem ser multiplicados juntos para formar o polinômio. Se x = 2, então ( x – 2) é um fator do polinômio.
Os fatores têm os sinais opostos das raízes.
Em seguida, escrevemos os fatores do polinômio juntos e multiplicamos:
( x – 2) ( x – 3) ( x + 1)
Para multiplicar binômios , que são polinômios que têm dois termos, devemos ter certeza de multiplicar todos os termos do primeiro fator por todos os termos do segundo fator. Começamos com dois fatores de cada vez. Usamos uma caixa para ajudar a organizar a multiplicação:
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Observe, os dois termos vermelhos são como termos , o que significa que eles têm as mesmas variáveis com os mesmos expoentes. Como são termos semelhantes, nós os combinamos, adicionando -2 x e -3 x para obter -5 x .
Agora que multiplicamos dois fatores juntos, pegaremos o resultado e multiplicaremos pelo terceiro fator. Novamente, usaremos uma caixa para organizar a multiplicação porque pode ficar confuso ao identificar o que temos e o que não multiplicamos.
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Quando nos multiplicamos, obtemos termos semelhantes. Nesse caso, temos dois conjuntos de termos semelhantes. Os termos azuis têm um x 2 , portanto, os adicionamos. Os termos vermelhos têm um x elevado à primeira potência, portanto, também os adicionamos. A resposta é o resultado dessa multiplicação. Observe que, como começamos com três raízes, nossa resposta tem um grau (o maior expoente) de 3.
Exemplo # 2
A seguir, vamos escrever uma equação polinomial com raízes 2, 2 e -3.
Este exemplo contém uma raiz múltipla de 2 porque ocorre duas vezes. Assim como no último exemplo, temos três raízes, o que significa que terminaremos com um polinômio de grau 3.
Primeiro, vamos reescrever as raízes como fatores. Como os 2s são positivos, eles se tornarão negativos no fator. Como o 3 é negativo, ele se tornará positivo no fator.
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Conforme você se sentir mais confortável, esta etapa pode ser ignorada e você pode pular direto para escrever os fatores.
( x – 2) ( x – 2) ( x + 3)
Agora vamos multiplicar. Novamente, queremos começar com apenas dois dos fatores. Geralmente é mais fácil começar com os dois que são iguais.
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Observe que combinamos os termos semelhantes e -2 x mais -2 x é igual a -4 x .
Finalmente, queremos multiplicar o resultado que acabamos de obter pelo último fator de ( x + 3).
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Novamente, temos dois conjuntos de termos semelhantes para combinar. -4 x 2 mais 3 x 2 é – x 2 . 4x mais -12x é -8 x .
Nossa resposta final é um polinômio de terceiro grau.
Exemplo # 3
Finalmente, vamos escrever uma equação polinomial com as raízes -1, 1, 4 e -4.
Este polinômio tem quatro raízes, então qual seria o grau do polinômio? Como tem quatro raízes, terá um expoente maior de 4.
Primeiro, começaremos escrevendo as raízes como fatores. Uma vez que tudo o que temos a fazer é mudar os sinais, obtemos os seguintes fatores.
( x + 1) ( x – 1) ( x – 4) ( x + 4)
Em seguida, temos que multiplicar. Será mais fácil multiplicar os binômios que têm os mesmos números. Vamos começar com os 1s.
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Observe que os termos semelhantes se cancelaram porque -1 mais 1 é 0. Isso significa que esses fatores são quadrados perfeitos.
A seguir, multiplicaremos os 4s.
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Novamente, os termos semelhantes foram cancelados porque esses são quadrados perfeitos. É por isso que escolhemos multiplicar os 1s e os 4s primeiro. Observe que não estaríamos errados se tivéssemos multiplicado qualquer um dos outros dois fatores primeiro; é apenas mais fácil assim.
Agora, vamos multiplicar os dois resultados juntos para obter nossa resposta final:
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Nesse caso, precisamos combinar os termos semelhantes.
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Observe que o expoente mais alto é 4 e tínhamos quatro raízes. Portanto, o grau é quatro.
Resumo da lição
Equações polinomiais são equações que possuem vários termos compostos de números e variáveis. O grau é o expoente mais alto do polinômio. O grau nos diz quantas raízes são encontradas em uma equação polinomial. As raízes da equação polinomial são os valores de x onde y = 0.
Para escrever uma equação polinomial, seguimos estas etapas:
- Escreva as raízes como fatores, mudando os sinais e colocando cada fator entre parênteses
- Multiplique pares de raízes usando uma caixa para organizar a multiplicação
- Certifique-se de que cada fator foi multiplicado por todos os outros fatores, e
- Verifique a resposta certificando-se de que o grau do polinômio é o mesmo número que o número das raízes fornecidas