Mudança de forma
Fatorar um polinômio, como x 4 – 29 x 2 + 100, pode parecer intimidante. Nesta lição, você aprenderá como alterar a forma de certos polinômios de alto grau para que sejam muito mais fáceis de fatorar.
Vamos primeiro discutir a mudança de forma no mundo dos insetos. Os insetos normalmente passam por vários estágios de vida, e o aparecimento de alguns insetos é muito diferente de um estágio para o outro. Em outras palavras, eles mudam de forma. Considere a borboleta monarca: em seu estágio larval, ela tem a forma de uma lagarta. Durante esta fase da adolescência, a lagarta está comendo folhas como se não houvesse amanhã. No momento certo, a lagarta-monarca se prepara para sua transformação para a idade adulta. Ele emerge de sua concha para revelar uma mudança biológica radical. A lagarta mudou de forma para que agora possa desfrutar da vida e das responsabilidades de uma borboleta adulta.
Em matemática, geralmente não mudamos a forma das coisas vivas. No entanto, mudar as formas das expressões matemáticas pode ser eficaz para encontrar soluções para problemas, como o que mencionei no início da lição.
A forma quadrática
Vejamos a forma padrão da função quadrática em uma variável: y = ax 2 + bx + c . Uma função quadrática em uma variável tem um grau de 2 porque a variável do termo líder tem um expoente de 2. O segundo termo em x ( bx ) na verdade tem um expoente de 1, mas esse expoente geralmente não é mostrado. As letras a , b e c representam números reais, exceto que a não pode ser igual a zero.
Vamos considerar a seguinte equação quadrática: x 2 + 4 x – 21 = 0. Podemos fatorar esta equação da seguinte forma: ( x + 7) ( x – 3) = 0. Podemos agora usar a propriedade de produto zero para resolver a equação : x + 7 = 0, então x = -7. x – 3 = 0, então x = 3. No entanto, o restante desta lição se concentrará na tarefa de fatoração .
Mudando para a forma quadrática
Agora vamos olhar para uma expressão polinomial que tem um grau maior que dois, como segue: x 4 + x 2 – 12. Esta expressão não se encaixa em nossa definição de uma função quadrática em uma variável porque ela tem um grau de 4. No entanto, podemos reescrevê-lo na forma quadrática. Lembre-se de que o termo principal em uma expressão quadrática tem um expoente 2 e o outro termo x tem um expoente 1. Podemos primeiro reescrever a expressão da seguinte maneira:
( x 2 ) 2 + ( x 2 ) 1 – 12
Vamos fazer mais uma coisa: vamos substituir u por x 2 . Em outras palavras, u = x 2 . Agora temos o seguinte: u 2 + u – 12. Aí está: uma expressão quadrática! Agora é muito mais fácil fatorar. Na forma fatorada, é ( u + 4) ( u – 3). Lembre-se de que u = x 2 . Agora mude u de volta para o termo que substituiu originalmente: ( x 2 + 4) ( x 2 – 3). Nossa expressão original agora é fatorada:
x 4 + x 2 – 12 = ( x 2 + 4) ( x 2 – 3)
Você deve ter notado que se elevarmos ao quadrado o segundo termo em x , obteremos um termo com um expoente 4, assim como o termo principal. Em outras palavras, ( x 2 ) 2 = x 4 . Esse sempre será o caso para expressões polinomiais que podem ser escritas na forma quadrática.
Agora precisamos definir a forma quadrática . Uma expressão está na forma quadrática se pudermos reescrever na forma de au 2 + bu + c e u for qualquer expressão em x . Observe que a variável u pode ser usada para substituir qualquer expressão em x . Portanto, nem sempre será igual a x 2 . Ele substituirá uma expressão apropriada para que possamos escrever um polinômio na forma quadrática como em nosso próximo exemplo.
Exemplo 1
Escreva a expressão na forma quadrática, se possível:
3 x 8 – 22 x 4 – 16
Podemos reescrever a expressão como 3 ( x 4 ) 2 – 22 ( x 4 ) 1 – 16. Podemos substituir u por x 4 e reescrever a expressão da seguinte maneira: 3 u 2 – 22 u – 16. Agora temos uma expressão na forma quadrática.
Exemplo 2
Escreva a expressão na forma quadrática, se possível:
x 10 – 5 x 4 + 9
Podemos reescrever o primeiro termo como x 10 = ( x 5 ) 2 . Podemos então reescrever a expressão inteira como ( x 5 ) 2 – 5 ( x 4 ) 1 + 9. Observe que nossos termos em x não são os mesmos: x 5 não é igual a x 4 . Não podemos substituir esses dois termos pela mesma variável. Se substituirmos u por x 5 , não podemos substituir u por x 4, e vice versa. Portanto, esta função não pode ser escrita na forma quadrática. Observe também que o quadrado de x ^ 4 (( x 4 ) 2 ) é igual a x 8 , que não é o mesmo que o termo principal x 10 .
Exemplo 3
Fatore a expressão polinomial x 4 – 29 x 2 + 100. Podemos reescrever a expressão como ( x 2 ) 2 – 29 ( x 2 ) 1 + 100, então podemos substituir u por x 2 e reescrever a expressão da seguinte maneira:
u 2 – 29 u + 100
A forma quadrática da expressão agora pode ser colocada na forma fatorada como ( u – 25) ( u – 4). Lembre-se de que u = x 2 neste problema, então mude u de volta para x 2 para obter ( x 2 – 25) ( x 2 – 4). Ambos os fatores são uma diferença de quadrados e podem ser posteriormente fatorados no seguinte:
( x – 5) ( x + 5) ( x – 2) ( x + 2)
Exemplo 4
Fatore a expressão polinomial x 6 – 49. Podemos reescrever a expressão como ( x 3 ) 2 – 49. Neste exemplo, não há um segundo termo em termos de x ; portanto, só precisamos nos preocupar em alterar o prazo do lead. Portanto, podemos substituir u por x 3 e reescrever a expressão da seguinte maneira: u 2 – 49. A forma quadrática da expressão pode agora ser posta em fatoração como ( u – 7) ( u + 7). Lembre-se de que u é igual ax 3 neste problema, então mude u de volta para x3 para obter:
( x 3 – 7) ( x 3 + 7)
Resumo da lição
Fatorar polinômios de um grau mais alto pode ser uma tarefa e tanto. No entanto, a fatoração de expressões quadráticas geralmente é mais fácil. Portanto, tente ver se você pode escrever um polinômio de grau superior na forma quadrática. Isso permitirá que você use certas técnicas de fatoração que são usadas para fatorar expressões quadráticas.
Resultado de aprendizagem
Depois de concluir esta lição, você será capaz de demonstrar como fatorar polinômios usando a forma quadrática.