Fatorando Polinômios em Números Complexos
Combinar doces com frutas às vezes produzirá resultados deliciosos. Como combinar chocolate com banana. Ou que tal sorvete e cerejas?
Em matemática, podemos obter alguns tópicos saborosos combinando conceitos com habilidades. Caso em questão: combinando os conceitos de polinômios e números complexos com as habilidades de fatoração, enraizando com a fórmula quadrática, empregando a regra de sinais de Descartes e usando a divisão sintética.
Se algum deles não for familiar, você pode revisar uma das lições disponíveis na área de interesse. Nesta lição, usaremos exemplos para vincular esses conceitos e habilidades.
Fatores, raízes e polinômios
O factoring implica multiplicação. Por exemplo, os fatores do número 8 são 1, 2, 4 e 8 porque podemos usar esses números em uma multiplicação para obter 8. Você sabe que (1) (8) é 8 e (2) (4) é 8. Além disso, para expressões com uma variável, fatores são os termos que colocamos entre parênteses. Por exemplo:
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Os fatores são x + 2 e x – 3.
Quando expandimos pela multiplicação, obtemos um polinômio : x 2 – x – 6.
Este polinômio é escrito na forma padrão com o termo tendo a maior potência de x primeiro. A maior potência é a ordem do polinômio.
Nosso exemplo é um polinômio de ordem 2. Isso geralmente é chamado de polinômio quadrático. E quanto às raízes ? Se plotarmos este poliomial:
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As raízes deste polinômio são x = -2 e x = 3. Além de representar graficamente, podemos » enraizar » um polinômio definindo-o igual a zero:
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e resolvendo para x .
Nós tínhamos:
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Ou x + 2 é zero, o que significa x = -2. Ou x – 3 é zero, o que significa x = 3.
Uma característica dos polinômios quadráticos é a fórmula para encontrar as raízes. Em geral, para um polinômio escrito como a x 2 + b x + c , as raízes são
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Em nosso exemplo de x 2 – x – 6, temos
- a = 1
- b = -1
- c = -6
As raízes são
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Simplificando: (1 + 5) / 2 = 6/2 = 3 e (1 – 5) / 2 = -4/2 = -2. Assim, as raízes são 3 e -2, concordando com os resultados anteriores.
Raízes complexas e polinômios de ordem superior.
Polinômio de ordem 2
Agora, aprimoramos um pouco nossos conceitos e habilidades. Vamos trabalhar com o polinômio:
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Este é um polinômio de ordem 2 (quadrático) com a = 1, b = -2 e c = 10.
As raízes são:
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A raiz quadrada de um número negativo é a raiz quadrada do número positivo vezes i, onde i = √ (-1).
Então,
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e as raízes de x 2 – 2 x + 10 são
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(2 + 6 i ) / 2 é 1 + 3 i e (2 – 6 i ) / 2 é 1 – 3 i .
Os fatores são » x menos a raiz: »
x – (1 + 3 i ) e x – (1 – 3 i ). Simplificando:
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e
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Podemos escrever o polinômio como um produto de fatores:
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Polinômio Ordem 3
Vamos fazer um polinômio de ordem 3. Fator f ( x ) = x 3 – 6 x 2 + 10 x – 8. (É conveniente escrever o polinômio como uma função de x .)
Algumas observações:
- Os coeficientes são todos números reais.
Se houver fatores complexos, eles ocorrem em pares, onde um fator complexo é o conjugado complexo do outro. Conjugado complexo significa substituir os i ‘s por – i ‘s. Multiplique um fator por seu fator conjugado complexo e você obterá apenas números reais.
Por exemplo, o conjugado complexo de x + 2 i é x – 2 i . Multiplicando esses fatores: ( x + 2 i ) ( x – 2 i ) dá x 2 + 2 x i – 2 x i – i 2 = x 2 + 0 – (- 1) = x 2 + 1. (Nota: i 2 = -1).
- A soma das raízes é 6.
O negativo do coeficiente do termo x 2 é igual à soma das raízes.
- f ( x ) tem 3 mudanças de sinal.
Assim, existem 3 ou 1 raízes reais positivas.
- f (- x ) = – x 3 – 6 x 2 – 10 x – 8 que não tem alterações de sinal.
Portanto, não há raízes reais negativas.
- As raízes reais positivas são os fatores positivos de 8.
As raízes podem ser 8, 4, 2 ou 1.
Vamos tentar 8 como raiz. Usando divisão sintética:
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Portanto, 8 não é uma raiz.
Que tal 4:
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Ótimo! 4 é uma raiz. Além de verificar uma raiz, a divisão sintética também nos dá o polinômio restante. Veja o 1 -2 2 0? Nós interpretamos isso como x 2 – 2 x + 2. O quão legal é isso? Portanto,
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Enraizando x 2 – 2 x – 2:
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(2 + 2 i ) / 2 = 1 + i e (2 – 2 i ) / 2 = 1 – i .
Assim, as raízes são 4, 1 + i e 1 – i .
Observe que a soma das raízes é 4 + 1 + i 1 – i = 6 conforme previsto. Há uma raiz positiva e as duas raízes complexas são um par conjugado complexo.
Os fatores são ( x – 4), ( x – 1 – i ) e ( x – 1 + i ).
Portanto,
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Resumo da lição
Se multiplicarmos os fatores juntos, obteremos um polinômio . Se definirmos o polinômio igual a zero e resolvermos para a variável, estaremos encontrando as raízes . Às vezes, as raízes são complexas.
Para polinômios de ordem 2, a fórmula quadrática é muito útil. Nesta lição, mostramos como fatorar um polinômio de ordem 3 encontrando uma raiz e usando a divisão sintética para reduzir o polinômio à ordem 2.