Seções cônicas
É sempre fascinante aprender sobre conceitos matemáticos que se originaram há muito tempo. As seções cônicas são um desses conceitos.
As seções cônicas são formas geométricas cujas origens podem ser rastreadas até os antigos matemáticos gregos que trabalharam já em 350 aC Eles observaram que cortar um cone duplo com um plano de várias maneiras resultou em quatro formas diferentes. As formas resultantes criadas pelas interseções do plano com o cone são círculo, elipse, parábola e hipérbole; essas são as seções cônicas .
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As formas gerais das equações algébricas para essas quatro seções cônicas são mostradas na imagem abaixo.
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Vamos dar uma olhada no conceito extremamente interessante de seções cônicas.
Excentricidade
Uma característica que todas as seções cônicas possuem é a excentricidade . A excentricidade de uma seção cônica nos diz o quão perto está de ter a forma de um círculo. Quanto mais longe a excentricidade de uma seção cônica estiver de 0, menos a forma se parecerá com um círculo.
Dê uma olhada nas formas cônicas novamente. Um círculo é um círculo, então obviamente a excentricidade de um círculo é 0. Qual das outras três seções cônicas você acha que seria mais próxima da forma de um círculo?
Bem, uma elipse parece um círculo comprimido. Quando comparado com as outras duas formas cônicas, ele se parece mais com um círculo. Raciocínio semelhante deduz que uma parábola seria a próxima mais próxima e uma hipérbole a mais distante de um círculo em forma.
O gráfico a seguir fornece faixas de valores de excentricidade ( e ) para cada uma das seções cônicas.
| Círculo | e = 0 |
| Elipse | 0 < e <1 |
| Parábola | e = 1 |
| Hipérbole | e > 1 |
As duas seções cônicas com as excentricidades mais fáceis de lembrar são um círculo ( e = 0) e uma parábola ( e = 1). A elipse e a hipérbole são um pouco mais complicadas, mas não muito. Podemos encontrar o valor exato da excentricidade dessas duas formas cônicas usando suas equações.
A excentricidade de uma elipse ( x – h ) 2 / a 2 + ( y – k ) 2 / b 2 = 1 sempre estará entre 0 e 1 e pode ser calculada usando as seguintes fórmulas:
- Quando a > b , usamos e = √ ( a 2 – b 2 ) / a .
- Quando b > a , usamos e = √ ( b 2 – a 2 ) / b .
A excentricidade de uma hipérbole ( x – h ) 2 / a 2 – ( y – k ) 2 / b 2 = 1 é sempre maior que 1 e pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
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e = √ ( a 2 + b 2 ) / a .
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Vamos colocar essas regras em prática e dar uma olhada em como descobrir a excentricidade de alguns exemplos.
Alguns exemplos
Considere as seguintes equações:
- ( X + 1) 2 /9 – y 2 /16 = 1
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y = 2 ( x – 4) 2 + 3
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x 2 + y 2 = 36
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x 2 /4 + ( y + 7) 2 /9 = 1
Primeiro, vamos identificar qual das seções cônicas cada uma dessas equações representa. Podemos fazer isso comparando as equações às formas gerais das equações das seções cônicas, como você pode ver nas soluções de equação abaixo.
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Isso nos dá o seguinte:
- A Equação 1 é uma hipérbole onde a = 3 e b = 4.
- A Equação 2 é uma parábola onde a = 2.
- A Equação 3 é um círculo com raio de 6.
- A Equação 4 é uma elipse onde a = 2 e b = 3.
Agora, vamos calcular suas excentricidades. Como a Equação 2 é uma parábola, ela tem uma excentricidade de 1; e como a Equação 3 é um círculo, ela tem uma excentricidade de 0.
Para encontrar a excentricidade da Equação 1, usamos a fórmula para a excentricidade de uma hipérbole onde a = 3 eb = 4.
√ ( a 2 + b 2 ) / a
√ (3 2 + 4 2 ) / 3
√ (9 + 16) / 3 ≈ 1,7
Como esperado, a excentricidade da hipérbole é maior que 1 com um valor de aproximadamente 1,7.
A Equação 4 é uma elipse, então usamos a fórmula para a excentricidade de uma elipse onde a = 2 e b = 3. Primeiro, determinamos qual fórmula usar examinando a e b . Como 3> 2 e b > a , usamos a fórmula √ ( b 2 – a 2 ) / b .
√ (3 2 – 2 2 ) / 3
√ (9-4) / 3 ≈ 0,745
A excentricidade da elipse é 0,745 e fica entre 0 e 1, como deveria.
Resumo da lição
Vamos fazer uma revisão por alguns instantes. As seções cônicas são um conjunto de formas descobertas por antigos matemáticos gregos; eles são formados cortando um cone duplo com um plano em vários ângulos. Eles incluem círculos, elipses, parábolas e hipérboles. Cada uma dessas seções cônicas tem uma excentricidade , ou uma medida de quão próxima sua forma se assemelha a um círculo. Quanto mais próxima de 0 a excentricidade de uma forma, mais ela se parece com um círculo.
Podemos calcular a excentricidade de uma seção cônica usando os valores de sua equação como aqueles que estão no gráfico abaixo.
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Como as seções cônicas existem há tanto tempo, tivemos muito tempo para estudá-las e reconhecê-las no mundo ao nosso redor. Portanto, pode ser extremamente útil se familiarizar com essas formas e suas propriedades, como suas excentricidades.