Uma equação quadrática
Muitas coisas em matemática começam com uma equação quadrática. E o processo de completar o quadrado não é exceção. Uma equação quadrática é uma equação da forma ax ^ 2 + bx + c = 0, onde a , b e c são números e x é sua variável.
O processo conhecido como completar o quadrado muda a equação quadrática para a forma a ( x + h ) ^ 2 + k = 0, onde a , h , ek são números e x é a variável. Uma boa maneira de lembrar esse processo é pensar no quadrado. Você quer reescrever a equação para que, em vez de ter sua variável em dois lugares, você só tenha sua variável uma vez dentro dos parênteses que estão ao quadrado.
Por que preencher o quadrado?
Por que você deseja completar o quadrado? É muito mais fácil resolver um quadrático quando sua variável está em apenas um ponto, em vez de dois. Observe a forma da equação depois de completar o quadrado: a ( x + h ) ^ 2 + k = 0. É muito mais fácil resolver esta equação para x do que se a deixássemos em nossa forma de equação quadrática.
Podemos resolver facilmente nossa equação quadrada completa movendo k e dividindo por a , seguido de tirar a raiz quadrada e mover h para obter x sozinho. Para resolver a equação quadrática, teríamos que usar a fórmula quadrática, x = (- b +/- raiz quadrada de ( b ^ 2 – 4 ac )) / (2 a ), o que não é tão fácil.
Encontrando o quadrado
Então, qual é esse processo de completar o quadrado? O primeiro passo é encontrar nosso quadrado. Isso não é tão difícil quanto parece. Vamos passar por esse processo completando o quadrado da equação quadrática 2 x ^ 2 + 4 x + 6 = 0.
Primeiro, movemos o 6 para que todas as nossas variáveis fiquem de um lado e nossas constantes do outro. Como nosso 6 está sendo adicionado, subtrairemos o 6 de ambos os lados para movê-lo.
2 x ^ 2 + 4 x + 6 – 6 = 0 – 6
2 x ^ 2 + 4 x = -6
Agora vamos dividir a equação inteira por 2, o que significa que vamos dividir cada termo por 2, de modo que tenhamos nosso x ^ 2 sozinho.
2 x ^ 2/2 + 4 x / 2 = -6/2
x ^ 2 + 2 x = -3
Esta é a parte onde encontramos a praça. Queremos que o lado esquerdo da nossa equação seja semelhante a x mais algo ao quadrado: ( x + algo) ^ 2. Portanto, a pergunta que precisamos nos fazer é qual número precisamos adicionar ao lado esquerdo para que, quando fatorarmos o lado esquerdo, obtenhamos ( x + alguma coisa) ^ 2?
Para encontrar esse número, dividimos o número próximo ax por 2 e, em seguida, elevamos ao quadrado. O número que temos ao lado de x é um 2, então vamos dividir isso por 2 e depois elevá-lo ao quadrado. Se o nosso sinal na frente do nosso 2 fosse um menos, estaríamos trabalhando com um -2. Portanto, fique de olho no seu sinal. Fazendo isso, obtemos 2/2 = 1 e 1 ^ 2 = 1. Portanto, o número que precisamos adicionar é 1. Encontramos nosso quadrado.
Completando o quadrado
Agora, para completar nosso quadrado, adiciono este 1 a ambos os lados.
x ^ 2 + 2 x + 1 = -3 + 1
Agora posso fatorar o lado esquerdo desta equação para obter ( x + 1) ^ 2. O número que uso entre parênteses é o número que obtenho quando divido meu número próximo ao x por 2. Lembre-se de manter o sinal na frente do 2 ao fazer isso.
( x + 1) ^ 2 = -3 + 1
( x + 1) ^ 2 = -2
Para colocá-lo na forma que desejo, minha última e última etapa é mover o número do lado direito para a esquerda. Meu número à direita é -2, então adiciono 2 a ambos os lados.
( x + 1) ^ 2 + 2 = -2 + 2
( x + 1) ^ 2 + 2 = 0
E eu tenho minha resposta de ( x + 1) ^ 2 + 2 = 0, e pronto! Eu fui da minha equação quadrática de 2 x ^ 2 + 4 x + 6 = 0 para a minha equação quadrada completa de ( x + 1) ^ 2 + 2 = 0.
Resumo da lição
Dê um tapinha nas costas por um trabalho bem feito! Agora você pode se testar com perguntas do questionário para ver se você realmente entendeu esse processo. Mas antes de fazermos isso, vamos fazer uma revisão rápida.
Aprendemos que uma equação quadrática é uma equação da forma ax ^ 2 + bx + c = 0, onde a , b e c são números ex é sua variável, e o processo conhecido como completar o quadrado muda o quadrático equação na forma a ( x + h ) ^ 2 + k = 0, onde a , h e k são números e x é a variável.
Realizamos o processo de completar o quadrado porque nos dá uma equação mais fácil de resolver. O próprio processo envolve encontrar o número que nos permitirá reescrever nossa equação de modo que nossa variável seja escrita apenas uma vez dentro de um par de parênteses ao quadrado. Para fazer isso, primeiro movemos nossa constante c para a direita. Em seguida, dividimos todos os nossos termos pelo nosso número a . Em seguida, dividimos nosso número b por 2 e o elevamos ao quadrado para encontrar o número para completar o quadrado. Em seguida, adicionamos esse número a ambos os lados, fatoramos o lado esquerdo e movemos o número da direita de volta para a esquerda para obter nossa equação quadrada final completa.
Resultados de Aprendizagem
Depois de concluir esta lição, você será capaz de:
- Identifique uma equação quadrática
- Aplique o processo de completar o quadrado para resolver mais facilmente uma equação quadrática