Equações Paramétricas
Nesta vídeo aula, vamos falar sobre equações paramétricas e como elas se aplicam ao mundo real. Essas equações pegam uma equação em duas ou mais variáveis e definem cada variável em termos de uma variável chamada de parâmetro.
Por exemplo, podemos ter a equação x ^ 2 + y ^ 2 = 1 , que tem duas variáveis, e transformá-la em uma equação paramétrica, definindo x = sin (t) e y = cos (t) , onde t é o nosso um parâmetro. porque nós fazemos isso?
Fazemos isso porque transforma uma equação em duas ou mais variáveis em um problema simples de uma variável. Claro, você precisará resolver cada variável para obter um ponto exato, mas você só precisa se preocupar com seu único parâmetro. Também podemos pensar em nosso parâmetro como o tempo.
Caminho circular
Já que estamos falando sobre o uso de equações paramétricas no mundo real, vamos falar sobre uma situação do mundo real onde as equações paramétricas podem ser aplicadas. Digamos, por exemplo, que estejamos assistindo cavalos sendo exercitados em um curral circular. Cada cavalo está fazendo seu caminho de exercício ao longo do mesmo círculo dentro do curral. Podemos modelar o caminho que nossos cavalos seguem com equações paramétricas. Com nossas equações paramétricas, podemos determinar a localização de nossos cavalos a qualquer momento.
Encontrando as Equações Paramétricas
Então, como encontramos nossas equações paramétricas? Bem, sabemos que para um círculo com um raio de r , as equações paramétricas são x = r sen (t) e y = sin r (t) , onde r é o raio e t é o nosso parâmetro. Em nosso caso, nosso parâmetro representa o tempo. O círculo que os cavalos fazem dentro do curral tem um raio de 3 metros. Então, nossas equações paramétricas são x = 10 sin (t) e y = 10 cos (t) . Limitaremos nosso t para que comece em 0 e termine em 2pi. Ao limitar nosso t como fizemos, ele nos diz que nosso cavalo faz apenas um círculo completo para sua rotina de exercícios.
Resolvendo as Equações
Agora, vamos resolver alguns problemas com nossas equações paramétricas.
Encontre a posição inicial de nossos cavalos.
Para fazer isso, resolvemos nossas equações paramétricas para t = 0. Fazendo isso, obtemos x = 10 sin (0) = 10 * 0 = 0 e y = 10 cos (0) = 10 * 1 = 10 . Portanto, nosso ponto de partida é em (0, 10). Se desenharmos o nosso curral com o ponto central em (0, 0), então nosso ponto de partida, (0, 10), é o lado superior do nosso círculo se estivermos parados na parte inferior do curral olhando para o curral com o círculo no meio dele.
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Agora, encontre a posição dos cavalos em t = pi / 2.
Para encontrar a resposta para isso, resolvemos nossas equações paramétricas para t = pi / 2. Porque temos um pi nele, estamos lidando com radianos. Se estivermos usando uma calculadora, precisamos ter certeza de que nossa calculadora está configurada para radianos e não graus. Também podemos usar nosso círculo unitário, que tem todos os nossos graus importantes rotulados com seus valores de cosseno e seno apropriados.
Obtemos x = 10 sin (pi / 2) = 10 * 1 = 10 e y = 10 cos (pi / 2) = 10 * 0 = 0 . Então, em t = pi / 2, nosso cavalo está no ponto (10, 0). Nossos cavalos estão agora no ponto mais à direita de nosso círculo. Nossos cavalos estão viajando no sentido horário ao redor do círculo.
Podemos continuar resolvendo nosso problema com outros valores de t inserindo diferentes valores para t em nossas equações paramétricas.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos:
Aprendemos que equações paramétricas pegam uma equação em duas ou mais variáveis e definem cada variável em termos de uma variável chamada parâmetro. Por exemplo, as equações paramétricos para a equação x ^ 2 + y ^ 2 = 1 são x = sin (t) e y = cos (t) . Passamos de duas variáveis definidoras para uma variável definidora. Isto só acontece a ser a equação para um círculo com um raio de 1. Para um círculo com um raio de r , as equações são paramétricos x = r sen (t) e y = r cos (t) .
No mundo real, podemos usar essas equações para nos dizer a posição de um objeto viajando em um caminho circular. Podemos encontrar a posição do objeto a qualquer momento inserindo diferentes valores para t , o parâmetro, que representa o tempo em nosso caso. Quando limitamos nosso parâmetro, isso dá ao nosso caminho um ponto inicial e um ponto final.
Resultados de Aprendizagem
Após esta lição, você será capaz de:
- Definir equações paramétricas
- Explique como usar essas equações para resolver problemas do mundo real
- Identifique a finalidade de limitar o parâmetro ao resolver problemas