O método do fator de integração
O método do fator de integração é uma técnica usada para resolver equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem da forma:
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Onde a (x) e b (x) são funções contínuas. O método se aplica a essas equações que não são exatas.
Equação Linear Não Exata
A forma geral de uma equação diferencial parcial é:
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Esta equação pode ser reformulada como:
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Se esta equação for exata, a seguinte igualdade será válida:
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A presença dessa igualdade na equação diferencial parcial linear torna essa equação exata.
A condição de exatidão garante a existência de uma função F (x, y) tal que:
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Esta lição trata da localização de soluções de equações diferenciais não exatas, o que significa que essas equações não terão as propriedades de equações diferenciais exatas.
Procedimentos para resolver equações
Vamos examinar o procedimento para resolver essas equações diferenciais parciais lineares não exatas de primeira ordem.
Passo 1
Escreva a equação diferencial na forma padrão:
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Passo 2
Calcule o fator de integração. A fórmula é:
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O fator de integração é uma função usada para transformar a equação diferencial em uma equação que pode ser resolvida pela aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo. Lembre-se de que o Teorema Fundamental do Cálculo afirma que se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], então F é a antiderivada de f em [a, b].
etapa 3
Multiplique ambos os lados da equação da Etapa 1 pelo fator de integração da Etapa 2:
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Passo 4
O lado esquerdo da equação na Etapa 3 é a derivada de:
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Isso ocorre depois que a regra da cadeia para diferenciação é aplicada. Lembre-se de que a regra da cadeia para diferenciação é o procedimento para diferenciar a composição de duas funções contínuas.
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A equação da Etapa 3 agora pode ser escrita como:
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Etapa 5
Integre ambos os lados da nova equação diferencial da Etapa 4 em relação a x :
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Pode-se aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo ao lado esquerdo desta equação para simplificá-lo como:
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Onde C 1 é a constante de integração.
A solução do lado direito da equação da Etapa 4 é mais complicada, mas sua solução geral pode ser expressa como B (x) + C 2 , onde C 2 é outra constante de integração. A equação da Etapa 4 torna-se:
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Onde as constantes de integração foram combinadas algebricamente.
Etapa 6
Divida ambos os lados da equação da Etapa 5 pelo fator de integração
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para obter a solução geral, que você pode ver aqui:
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Exemplo
Encontre a solução para:
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Passo 1
Escreva a equação na forma padrão:
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Passo 2
Calcule o fator de integração:
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etapa 3
Multiplique pelo fator de integração:
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Passo 4
Reescreva o lado esquerdo usando o reverso da regra da cadeia para diferenciação:
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Etapa 5
Integrar:
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Etapa 6
Divida pelo fator de integração para obter a solução:
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Resumo da lição
O método do fator de integração é uma maneira exata de encontrar a solução de uma equação diferencial parcial não exata, linear, de primeira ordem da forma:
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onde a (x) e b (x) são funções contínuas.
O método pressupõe familiaridade do leitor com as regras do produto e da cadeia para diferenciação de funções. Além disso, o método foi desenvolvido usando o Teorema Fundamental do Cálculo , que afirma que se f é uma função contínua em um intervalo fechado [ a, b ], então F é a antiderivada de f em [ a, b ].
A solução geral para este tipo de equação é esta aqui:
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Onde B (x) é uma função calculada a partir dos parâmetros do problema fornecido.