Equações de Cauchy-Reimann
» Ser ou não ser? » É uma questão complexa. São 10 da manhã e Jason ainda está dormindo. Ele vai se atrasar ou não para a aula das 8 da manhã? Esta é uma questão.
» Uma função complexa terá ou não uma derivada complexa? » Parece complicado, mas existe uma maneira fácil de descobrir isso.
Nesta lição, responderemos a essa pergunta e derivaremos as condições para a existência da derivada complexa. Essas condições são chamadas de equações de Cauchy-Riemann . São quase como as condições para Jason chegar a tempo em sua próxima aula.
Derivada de uma função complexa
Vamos falar sobre f ( z ) = u + iv , que é uma função complexa. Sabemos disso porque a função f ( z ) tem uma parte real (u) e uma parte imaginária (v). Em geral, u e v são funções de x e y . Também sabemos como definir a derivada para funções reais. Então, o que queremos dizer com derivada de uma função complexa?
Analogamente à definição da derivada para funções reais, podemos escrever:
 |
Substituindo u + iv por f ( x ) e tomando o limite ao longo do eixo real, obtém-se:
 |
Agora, agrupamos as partes reais e as imaginárias:
 |
Identificamos derivadas parciais em relação a x . Uma derivada parcial é como uma derivada comum, exceto que uma letra pode variar ( x neste caso) e todas as outras letras são mantidas constantes. Manter y constante é a razão de estarmos avaliando ao longo do eixo real. Usando derivadas parciais:
 |
A letra u com um subscrito x é outra maneira de escrever a derivada parcial de u em relação a x . Da mesma forma, a derivada parcial de v em relação a x é escrita como a letra v com um subscrito x .
Repita essas etapas para o limite ao longo do eixo imaginário:
 |
Novamente, agrupando as partes reais e imaginárias:
 |
Identificando derivadas parciais em relação a y :
 |
De volta às equações de limite, você vê onde o » i » no denominador se tornou » -i » no numerador do primeiro termo? No segundo termo, o » i » no numerador e denominador cancelado.
Agora temos dois resultados para a derivada de f ( z ):
 |
e
 |
Essas duas expressões derivadas só podem ser verdadeiras se suas partes reais forem iguais e se suas partes imaginárias forem iguais. Equacionando as partes reais:
 |
Equacionando as partes imaginárias:
 |
Essas equações são chamadas de equações de Cauchy-Riemann . Quando essas equações são verdadeiras para um determinado f ( z ), existe a derivada complexa de f ( z ).
Observe que a segunda equação é equivalente e às vezes escrita como:
 |
Equivalente ao café da manhã é o almoço. Jason estará acordado até então?
Usando Cauchy-Riemann
Nos exemplos, usaremos as equações CR (Cauchy-Riemann) para determinar se f ‘( z ) existe. Se f ‘( z ) existe, descobriremos o que é.
Exemplo 1: f ( z ) = e y sin x + ie x cos y .
A parte real u é e y sen x . A derivada parcial de u em relação a x é:
e y cos x .
A parte imaginária v de f ( z ) é e x cos y . A derivada parcial de v em relação a y é -e x sen y .
Agora compare u x com v y :
e y cos x ≠ -e x sen y . Portanto, f ‘( z ) não existe.
Exemplo 2: f ( z ) = e x sin y – ou seja, x cos y .
A parte real u é e x sin y enquanto a parte imaginária v é – e x cos y .
u x = e x sin ‘ y porque a derivada de e x é e x
v y = – e x (-sin y ) = e x sen y
Ótimo! A primeira das duas equações CR é verdadeira. Que tal a segunda equação?
v x = – e x cos y
– u y = – e x cos y
A segunda equação CR também é verdadeira! Assim, f ‘( z ) existe e é igual a:
f ‘( z ) = u x + iv x
= e x sen y + i (- e x cos y ) = e x sen y – ou seja, x cos y .
Exemplo 3: f ( z ) = 2 ( x 2 – y 2 ) + i 4 x y .
u x = 4 x
v y = 4 x
v x = 4 y
u y = -4 y
As equações CR estão satisfeitas. Assim, f ‘( z ) existe e é dado por:
f ‘( z ) = u x + iv x
= 4 x + i 4 y
Só para completar, a outra maneira de escrever f ‘( z ) é:
f ‘( z ) = -iu y + v y
= -i (-4 y ) + 4 x = 4 x + i 4 y .
E nós terminamos!
E Jason acabou de dormir. Acontece que hoje era feriado e todas as aulas foram canceladas. Que alivio!
Resumo da lição
Uma função complexa f ( z ) tem a forma geral f ( z ) = u + iv. A derivada de uma função complexa existe se as equações de Cauchy-Riemann forem verdadeiras. Usando a notação derivada parcial , as equações de Cauchy-Riemann são escritas como:
u x = v y
v x = – u y
Se a derivada complexa existe, então f ‘( z ) = u x + iv x ou, equivalentemente, f’ ( z ) = v y + iu y .