Sequências geométricas de visualizações de vídeos de gatos
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Uma sequência é apenas um padrão, e uma sequência geométrica é um padrão gerado por meio de multiplicações repetidas. Cada novo termo é feito multiplicando-se o anterior pela mesma coisa continuamente. Por exemplo, poderíamos ter a sequência geométrica finita 5, 10, 20, 40, 80 começando com 5 e multiplicando por 2 quatro vezes. Ou poderíamos obter a sequência geométrica infinita 8, 4, 2, 1, ½, ¼, … começando com 8 e multiplicando repetidamente por ½, o que acaba parecendo muito semelhante à divisão.
Acontece que vemos esses padrões em todo o lugar. Assisti a muitos vídeos no YouTube e decidi que minha melhor aposta para conseguir um vídeo realmente popular é pegar um gato e segui-lo com uma câmera 24 horas por dia, 7 dias por semana. Teria de fazer algo fofo eventualmente, especialmente se eu colocasse um chapéu bobo nele ou algo assim.
No primeiro dia depois de conseguir um desses vídeos engraçados, provavelmente o enviaria para minha namorada e, em seguida, ambos postaríamos em nossos murais do Facebook. No final do dia, seríamos as únicas duas pessoas que tinham visto. Mas digamos que no dia seguinte, 3 das minhas amigas e 3 amigas dela tenham assistido, fazendo 6 novos hits. Então, se cada uma dessas pessoas conseguisse mais 3 pessoas, seriam 18 visualizações a mais e, se cada uma dessas pessoas conseguisse 3 de seus amigos, já teríamos mais 54 visualizações em 4 dias (a4 = 54) ! 5 dias e recebo 162 novos resultados (a5 = 162), 6 dias traz 486 (a6 = 486) … agora estamos chegando a algum lugar!
É importante observar que a sequência que estamos fazendo agora é apenas o número de novas visualizações que estou obtendo a cada dia. Descobrir quantas visualizações totais atingiremos é algo que salvaremos para uma lição posterior. O que podemos descobrir agora é quantas novas visualizações eu receberia em qualquer dia específico. Simplesmente usar o padrão pode nos ajudar a descobrir quantos acessos eu receberia nos primeiros dias, mas tentar usar o padrão, uma entrada de cada vez, para descobrir quantos novos acessos eu receberia depois de algumas semanas, além de ser longo e tedioso, provavelmente acabaria cometendo um erro em algum lugar ao longo do caminho.
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Criando uma Fórmula de uma Sequência Geométrica
O que eu prefiro é uma fórmula que me diga quantos novos acertos eu obtenho a qualquer momento simplesmente substituindo em um número. Analisar as entradas que criamos até agora nos ajudará a ver o padrão que podemos tentar generalizar em uma fórmula. Começamos em a1 = 2, depois subimos para a2 = 6 (2×3), depois a3 = 18 (2x3x3), então 54 aconteceu porque multiplicamos por 3 novamente (2x3x3x3). Continuo multiplicando por 3, então o próximo é 2x3x3x3x3. Podemos começar a condensar essas multiplicações por 3 em expoentes, o que significa que o sexto termo seria 2×3 ^ 5. Observe que o sexto termo teve um expoente de 5 no 3. Se eu condensar os 3s em expoentes no quinto termo, obtenho a quarta potência; se eu condensá-los no quarto termo, obtenho o terceiro poder; o terceiro termo é o 2º; o segundo mandato é o 1º; e o primeiro termo podemos chamar de potência 0,
Generalizando o padrão para qualquer termo, isso significa que para qualquer dia n após eu postar o vídeo, o número de novos acessos é 2×3 ^ n-1. O 2 na frente representa o valor inicial a1, o 3 representa o que seria chamado de ‘razão comum’ e o n-1 representa quantas vezes tivemos que multiplicar por 3. É n-1 porque não obtivemos nenhum novo hits até o segundo dia.
Agora, descobrir quantos novos sucessos vou conseguir depois de duas semanas é bastante simples. Quero saber quantos novos acertos vou obter no 14º dia, então substituímos 14 por n. Isso nos dá que a14 = 2×3 ^ (14-1) potência. Fazemos 3 ^ 13 de potência e obtemos 1.594.323. Multiplicamos isso por 2 e descobrimos que 14 dias depois de postar o vídeo estou recebendo 3.188.646 novos acessos! Meu gato se tornou oficialmente viral! Em breve haverá um meme baseado em sua imagem.
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O que acabamos de criar é a regra geral para o enésimo termo de uma sequência geométrica, an = a1r ^ n-1 . Na verdade, é muito semelhante a uma função exponencial, apenas as letras foram alteradas. An é o enésimo termo geral, a1 é o primeiro termo, r é a razão comum ou o valor que multiplicamos por cada etapa do caminho. É chamado de razão comum porque se você dividir dois termos consecutivos, obterá a mesma coisa. Por último, on na potência n-1 é qualquer termo que você está tentando descobrir. Aparentemente, se você conseguir criar um vídeo do YouTube que tenha uma proporção comum de 3, você está no caminho para o estrelato na Internet!
Encontrando uma sequência geométrica usando termos
Também podemos criar a regra para uma sequência geométrica simplesmente recebendo quaisquer duas entradas. Digamos que sabemos que a3 = 9/4 e a6 = 243/32. Queremos saber qual é a regra para o enésimo termo. Gosto de desenhar isso visualmente para que saibamos o que está acontecendo. Não sei qual é o primeiro ou o segundo termo, mas sei que o terceiro termo é 9/4. O quarto e o quinto termo são desconhecidos para mim, mas o sexto termo é 243/32. Por ser uma sequência geométrica, sei que quando comecei com meu terceiro termo (9/4), simplesmente multipliquei por r três vezes consecutivas para obter meu sexto termo, o que significa que 9 / 4r ^ 3 = 243/32 .
Agora, o que configurei é uma equação que posso resolver usando operações inversas para descobrir qual deve ser a razão comum r. Eu desfaço a multiplicação por uma fração, multiplicando pelo seu recíproco, 4/9, o que me dá 27/8 no lado direito. Posso então desfazer um terceiro poder com uma terceira raiz. Eu pego a raiz cúbica de ambos os lados e descubro que a raiz cúbica de 27 é 3 e a raiz cúbica de 8 é 2, e acho que nossa proporção comum é 3/2. A única outra coisa necessária para nossa regra além de r é a1, o que significa que tenho que voltar atrás para encontrar a1. Posso voltar à minha imagem e dividir por r. Eu divido uma vez por 3/2 e obtenho 3/2, e divido mais uma vez por 3/2 e descubro que a1 é simplesmente igual a 1. Isso significa que minha regra an = a1r ^ n-1 é an = 1 x 3/2 ^ n-1. Porque multiplicar por 1 não muda nada,
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Resumo da lição
Uma sequência geométrica é um padrão de números gerado por multiplicação repetida, semelhante a funções exponenciais. Por ser semelhante a uma função exponencial, a regra geral para uma sequência geométrica contém um expoente e obtemos an = a1r ^ n-1 como a regra para o enésimo termo de uma sequência geométrica. Essa regra geral pode nos ajudar a encontrar termos de uma seqüência geométrica que estão muito distantes do início.