Configurando o problema
Estamos prestes a examinar como encontrar o determinante para uma matriz 3 x 3, mas primeiro precisamos saber o que é um determinante. Um determinante é um único número específico associado a uma matriz quadrada específica. Devemos notar que os determinantes são definidos apenas para matrizes quadradas. Vamos dar uma olhada no processo usado para encontrar o determinante de uma matriz específica.
- Etapa 1 – Escreva a matriz
Temos que saber no que estamos trabalhando, certo? Bem, aqui está a matriz 3 x 3 que usaremos para este exercício.
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O 3 x 3 se refere ao número de linhas e colunas em nossa matriz. Uma vez que tem três linhas e três colunas, nós a chamamos de matriz 3 x 3. Como o número de colunas e linhas são iguais, esta é uma matriz quadrada – o que significa que ela terá um determinante.
- Etapa 2 – Escreva a matriz com os símbolos determinantes
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Há apenas uma pequena diferença nesta imagem e na última: os colchetes se transformaram em linhas retas. Matematicamente falando, no entanto, isso indica uma diferença muito grande. A matriz representa toda uma série de relações entre números, enquanto o determinante é apenas um único número.
- Etapa 3 – Escreva a matriz sem colchetes ou símbolos determinantes
Agora que conhecemos a matriz em que estamos trabalhando, o que é um determinante e como é escrito – podemos iniciar o processo de encontrar o determinante. Esta etapa envolve apenas escrever as colunas e os números sem quaisquer outros símbolos.
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Simples, certo? Agora vamos prosseguir para a próxima etapa.
- Etapa 4 – Adicione as duas primeiras colunas à direita
Agora, à direita de nossas 3 colunas, vamos adicionar mais duas colunas. Não apenas quaisquer colunas – vamos simplesmente repetir as duas primeiras colunas de nossa matriz.
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A linha pontilhada nesta imagem é apenas para fins de demonstração – não é necessário colocá-la quando você estiver trabalhando em outros problemas determinantes. Embora isso ajude a manter o controle de onde você está no processo, você certamente pode mantê-lo.
- Etapa 5 – Adicionar multiplicações da primeira diagonal
Observe a imagem abaixo antes de continuarmos a falar sobre esta etapa.
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Comece com o número na primeira linha e na primeira coluna e multiplique os três números na diagonal indo para baixo e para a direita. Na imagem acima, esses três números estão circulados. Vamos somar os números das diagonais para baixo.
- Etapa 6 – Adicionar multiplicações da segunda e terceira diagonais para baixo
Repita a etapa 5 para a segunda e terceira diagonais para baixo. Novamente, estamos escolhendo os três números de nossa matriz estendida que estão em uma diagonal que vai para baixo e para a direita. Assim que tivermos esses números, vamos multiplicá-los e adicioná-los à nossa expressão crescente. Não multiplique os números neste momento – faremos isso mais tarde.
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- Passo 7 – Subtraia as multiplicações das diagonais
Agora vamos fazer um processo semelhante com as diagonais para cima. Para cada diagonal, ainda iremos escolher três números para multiplicar, mas para as diagonais superiores, iremos subtrair os termos de multiplicação em vez de somar.
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Você percebeu como temos um grande sinal de subtração antes de cada um dos termos da diagonal para cima? É muito fácil obter o sinal errado nesta etapa, portanto, certifique-se de saber por que ele está lá.
- Etapa 8 – Calcular resultados
Agora que temos todos os termos para calcular nosso determinante, podemos começar a fazer as operações. Lembre-se de que um negativo vezes um negativo é positivo e, se algum dos multiplicadores for 0, esse termo será igual a 0.
O que temos depois de todas as etapas acima é:
Determinante de A
= + (1) (3) (2) + (-4) (- 1) (2) + (0) (0) (0) – (2) (3) (0) – (0) (- 1 ) (1) – (2) (0) (- 4)
Quando avaliamos cada um dos termos de multiplicação, obtemos:
= 6 + 8 + 0 – 0 – 0 – 0
Solução
Concluir a última etapa de nosso processo dará uma resposta de 14. Isso significa que o determinante de nossa matriz acaba sendo 14.
Como os determinantes são usados
Obter esse determinante pode parecer anticlimático porque ainda não sabemos como usá-lo. Determinantes são muito úteis para matemática mais avançada: autovalores e problemas de autovetores, por exemplo. No entanto, esses conceitos estão além do que podemos cobrir nesta lição.
Você deve ter notado que o símbolo do determinante de uma matriz se parece muito com o símbolo do valor absoluto e terminamos com um determinante positivo. Isso significa que os determinantes não podem ser negativos?
Parece uma suposição razoável, mas é incorreta. Para provar isso, tudo o que precisamos fazer é pegar nossa matriz existente e mudar o sinal de cada termo nela. Quando analisamos e avaliamos o determinante, obteremos 14 negativo em vez de 14. Portanto, os determinantes podem ser positivos e negativos.
E quanto a determinantes zero? Os determinantes podem ser iguais a zero, mas isso só acontece quando as linhas da matriz quadrada são dependentes umas das outras. Digamos que nossa matriz represente uma série de 3 equações para 3 variáveis desconhecidas e queiramos descobrir quais são essas variáveis. Um determinante de 14, porque não é igual a zero, indica que as três equações são independentes umas das outras – o que por sua vez significa que nosso sistema de equações tem uma solução singular. Se nosso determinante fosse zero, isso significaria essencialmente que temos menos de três equações independentes, e nosso sistema de equações não teria uma solução diferente de todas as variáveis iguais a zero.