O que são mínimos e máximos?
Quando você representa um gráfico de função, o valor mínimo dessa função pode ser encontrado em seu ponto mais baixo no gráfico. É o vértice de um gráfico que se abre para cima. O valor máximo de uma função representada graficamente pode ser encontrado em seu ponto mais alto no gráfico, ou no vértice se o gráfico abrir para baixo.
Por exemplo, na imagem a seguir, o valor mínimo da função à esquerda é y = -5, enquanto o valor máximo da função à direita é y = 5.
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No entanto, você não precisa olhar para o gráfico de uma função para determinar se ela tem um valor máximo ou mínimo – essas informações podem ser determinadas apenas olhando a equação de uma função. As equações para funções quadráticas têm a forma geral ax ^ 2 + bx + c . Se o termo x ^ 2 for positivo, a equação terá um mínimo. Se o termo x ^ 2 for negativo, a equação terá um máximo.
Essas funções têm máximos ou mínimos?
1.) 5 x ^ 2 + 3 x – 1
Como o termo x ^ 2 é positivo (5x ^ 2), essa função tem um mínimo.
2.) 6 x – 2 x ^ 2
O -2 x ^ 2 significa que esta função tem um máximo.
3.) 7-2 x + x ^ 2
A função tem um mínimo por causa de x ^ 2.
4.) -2 x ^ 2 + 3 x + 1
Esta função tem um máximo porque o termo x ^ 2 (-2 x ^ 2) é negativo.
Máximos e mínimos têm aplicações práticas nas áreas de engenharia, finanças, manufatura e muitas outras áreas.
Determinando Valores Máximos / Mínimos
Existem três métodos para determinar os valores máximos ou mínimos de uma equação quadrática. Você pode representar graficamente a equação ou uma das duas formas de equação para encontrar os valores.
Use o gráfico
Você pode encontrar máximos ou mínimos visualmente fazendo um gráfico de uma equação. O valor y do vértice do gráfico será seu mínimo ou máximo. Isso é especialmente fácil quando você tem uma calculadora gráfica que pode fazer a maior parte do trabalho para você.
Novamente, usando o gráfico anterior, você pode ver que o ponto mínimo do gráfico com um mínimo está em y = -5. O gráfico com um ponto máximo tem esse ponto em y = 5.
Use a forma de equação y = ax ^ 2 + bx + c
Como discutido anteriormente, se sua equação estiver na forma y = ax ^ 2 + bx + c , o mínimo ou máximo depende do sinal associado ao termo x ^ 2. Você pode então encontrar o mínimo ou máximo usando a equação:
min ou max = c – b ^ 2/4 a
O primeiro passo é determinar se sua equação fornece um máximo ou mínimo. Isso pode ser feito examinando o termo x ^ 2. Se este termo for positivo, o ponto do vértice será mínimo; se for negativo, o vértice será um máximo. Assim que isso for determinado, você pode usar a segunda equação para encontrar o ponto exato dos mínimos ou máximos.
Exemplo: A função (2 x ^ 2 + 5 x – 3) tem um mínimo ou máximo? O que é isso?
Como o termo com x ^ 2, ou um termo, é positivo, você sabe que haverá um ponto mínimo. Para encontrá-lo, insira os valores na equação fornecida:
min = c – b ^ 2/4 a
min = -3 – 5 ^ 2/4 * (2)
min = -3 – 25/8
min = -3 – (3,125)
min = -6,125
Use a forma de equação y = a ( x – h ) ^ 2 + k
Tal como acontece com a última equação, se a um termo nesta equação é positiva, há um mínimo. Se for negativo, há um máximo. De qualquer forma, o ponto mínimo ou máximo pode ser encontrado em k . Nenhuma equação ou cálculo é necessário – a resposta é o valor de k .
Exemplo: esta função tem um máximo ou mínimo? -3 ( x + 1) ^ 2 + 12
Uma vez que a um termo é negativo, haverá um máximo a y = 12.
Exemplos do mundo real
1.) O número de bactérias em um alimento refrigerado é dado pela equação y = -0,5 x ^ 2 + 25 x + 800, onde y = o número de bactérias ex = tempo. Essa equação fornecerá um número máximo ou mínimo de bactérias e qual será?
Porque a um termo é negativo, sabemos que haverá um máximo para esta equação. Para encontrar esse máximo, podemos usar a equação:
máx = c – b ^ 2/4 a
máx = 800 – (25 ^ 2) / (4 * (- 0,5))
máx = 800 – 625 / -2
máx = 800 + 312,5
máx = 1112 bactérias
E essa será a quantidade máxima de bactérias presentes.
2.) Um fabricante de bolas de tênis tem um custo diário de y = x + 0,02 x ^ 2 + 100. Esta função tem um mínimo ou máximo, e qual é?
Porque a um prazo é positiva, haverá um mínimo. Usando a equação min = c – b ^ 2/4 a , podemos encontrar o custo mínimo.
min = 100 – (1 ^ 2) / (4 * 0,02)
min = 100 – 1 / (0,08)
min = 100 – 12,5
min = $ 87,50
Resumo da lição
Vamos revisar. Você pode determinar se uma função quadrática tem um máximo ou mínimo observando o gráfico da função ou a equação. Ao olhar para a equação, preste atenção para a um prazo. Se for positivo, a função terá um mínimo . Se for negativo, a função terá um máximo .