Funções Racionais
Conforme você se aprofunda cada vez mais no mundo da matemática, encontrará funções que produzem gráficos de aparência muito interessantes. Quando você começou, seus gráficos consistiam em linhas retas e curvas simples. Mas agora você aprendeu sobre funções racionais, que são funções compostas da divisão de dois polinômios. Isso significa que seus gráficos agora consistem em várias curvas. Você também tem linhas invisíveis que dividem suas curvas. Essas linhas invisíveis que dividem suas curvas são chamadas de assíntotas. Lembre-se de que, para encontrar suas assíntotas verticais, você descobre em quais pontos seu denominador é igual a 0. Para encontrar suas assíntotas horizontais, você olha os graus de seu numerador e seus polinômios do denominador. Se o grau do polinômio do denominador for maior do que o grau do polinômio do numerador, a assíntota horizontal será y = 0. Se os graus forem iguais, a assíntota horizontal será a divisão dos coeficientes principais. Por exemplo, olhe para essas duas funções racionais.
1. f (x) = x / x ^ 2
2. f (x) = 2x ^ 4 – 3x ^ 2 / 3x ^ 4 + 5x – 9
A primeira função racional tem uma assíntota horizontal de y = 0 porque o grau do polinômio do denominador é maior do que o grau do polinômio do numerador. Além disso, esta função tem uma assíntota vertical de x = 0 porque, se definirmos o denominador igual a 0 e resolver, obteremos x = 0. A segunda função racional tem uma assíntota horizontal de y = 2/3 porque o grau de o numerador e o polinômio denominador são iguais. Obtemos y = 2/3 isolando o coeficiente líder do polinômio do numerador e o coeficiente líder do polinômio do denominador.
Sabemos como encontrar assíntotas verticais e horizontais. Mas o que acontece quando o grau de nosso polinômio numerador é maior do que o grau de nosso polinômio denominador em 1? Por exemplo, se você vir uma função como esta.
y = x ^ 2 + 3x +2 / x – 2
O que acontece depois? Obtemos o que é chamado de assíntota inclinada , uma assíntota que não é horizontal nem vertical, mas inclinada.
Encontrando a Assíntota Inclinada
Você sabe, pelo seu conhecimento prévio de gráficos, que uma linha reta inclinada terá uma equação na forma de y = mx + b, onde m é a inclinação eb é a interceptação y. A questão agora é: como você encontra essa assíntota inclinada e sua equação a partir de sua função racional?
Acontece que é um processo bastante direto. Requer que você saiba como dividir polinômios. Para encontrar uma assíntota inclinada quando o grau do polinômio do numerador é exatamente um a mais que o grau do polinômio do denominador, você precisa realizar a divisão que é mostrada pela função racional. A assíntota inclinada é então sua resposta, não incluindo o resto, se houver. Lembre-se de que dividir polinômios é muito semelhante a dividir números grandes. Pegamos cada termo com seu coeficiente e variável e o tratamos como um valor de posição ao dividir os números. Por exemplo, a constante é tratada como nossa casa das unidades, o termo com a variável x é tratado como a casa das dezenas, o termo com a variável x ^ 2 é tratado como a casa das centenas e assim por diante.
Vejamos alguns exemplos para ver essa divisão polinomial em ação.
Exemplo 1
Encontre a assíntota oblíqua dessa função racional.
f (x) = x ^ 3 – 5x / x ^ 2 + 1
Primeiro, vemos que o grau do polinômio do numerador é um a mais que o grau do polinômio do denominador. Portanto, para encontrar a assíntota inclinada, precisamos realizar a divisão. Também vemos que o numerador está faltando x ^ 2 e os termos constantes, então, quando fizermos a divisão, teremos certeza de colocar zeros para esses termos. O denominador está faltando um termo x, portanto, colocaremos um zero para esse termo também. Executando a divisão polinomial, obtemos o seguinte:
x ^ 3 + 0x ^ 2 – 5x + 0 dividido por x ^ 2 + 0x +1
Subtraia o primeiro resultado (x ^ 3 + 0x ^ 2 + x)
É igual a -6x + 0 R
Nossa resposta é x com um resto de -6x. Nossa assíntota inclinada é a resposta sem a parte restante, então y = x é nossa assíntota inclinada.
Exemplo 2
Vejamos mais um exemplo. Encontre a assíntota oblíqua desta função racional:
f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2 – 9/3 – x ^ 2
Essa função racional também tem o grau do polinômio do numerador sendo um maior que o grau do polinômio do denominador. Também notamos que os polinômios do numerador e do denominador não têm o termo x, portanto, quando dividimos para encontrar a assíntota inclinada, precisaremos incluir um termo 0x. Também notamos que o denominador não é escrito com nossos termos em ordem, então, quando prosseguirmos e dividirmos, teremos certeza de escrever o termo x ^ 2 primeiro, depois o termo x e depois a constante. Prosseguindo com a divisão, temos o seguinte:
2x ^ 3 + 4x ^ 2 + 0x – 9 dividido por -x ^ 2 + 0x +3
Subtraia nosso primeiro resultado (2x ^ 3 + 0x ^ 2 – 6x)
Nos dá 4x ^ 2 + 6x – 9
Subtraia nosso segundo resultado (4x ^ 2 + 0x – 12)
Nos dá 6x + 3
Nossa resposta é -2x – 4 com um resto de 6x + 3. Você se lembra de qual parte é sua assíntota inclinada? Sim, a resposta sem o resto. Portanto, a assíntota inclinada é y = -2x – 4.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos. Funções racionais são funções compostas da divisão de dois polinômios. Quando o grau do polinômio do numerador é um a mais que o grau do polinômio do denominador, teremos uma assíntota inclinada , uma assíntota inclinada, além de quaisquer assíntotas horizontais ou verticais. Para descobrir o que é essa assíntota inclinada, fazemos a divisão que é mostrada na função. Nossa assíntota inclinada é a resposta sem a parte restante.
Resultados de Aprendizagem
Após esta lição, você deverá ser capaz de:
- Definir função racional e assíntota inclinada
- Explique como encontrar a assíntota inclinada