Fórmula
A segunda derivada é definida como a derivada da primeira derivada. Seu símbolo é a função seguida por duas marcas de apóstrofo.
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A fórmula para calcular a segunda derivada é esta.
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O que esta fórmula lhe diz para fazer é primeiro tirar a primeira derivada. Então você pegaria a derivada da primeira derivada para encontrar sua segunda derivada. Omiti o (x) próximo ao f, pois isso tornaria a notação mais difícil de ler.
Vamos trabalhar com um exemplo para vê-lo em ação. Vamos encontrar a segunda derivada da seguinte função.
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Etapa um: encontre a primeira derivada
Nosso primeiro passo é obter a primeira derivada de nossa função. Nossa função é um polinômio, então calcularemos a derivada de cada termo usando a regra de potência. Como você deve se lembrar, um polinômio é simplesmente uma expressão matemática que contém constantes e variáveis.
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Lembre-se de que, para cada termo, a regra de potência diz para você multiplicar o número pelo expoente e, em seguida, reduzir o expoente por 1. Portanto, para o nosso primeiro termo, x ^ 4, multiplicamos nosso número 1 pelo 4 para obter 4. Nós em seguida, reduza o expoente em 1 para obter 3. Portanto, nossa primeira derivada para o primeiro termo é 4x ^ 3. Faríamos o mesmo com nosso segundo mandato, 3x ^ 3. Multiplicamos o número 3 pelo expoente 3 para obter 9. Em seguida, reduzimos o expoente por 1 para obter 2. Portanto, nossa primeira derivada do segundo termo é 9x ^ 2. Fazendo o mesmo com o terceiro termo, obtemos 16x.
Agora que obtivemos nossa primeira derivada, vamos continuar para a próxima etapa.
Etapa dois: encontrar a segunda derivada
Nossa primeira derivada ainda é um polinômio, portanto, continuaremos a usar a regra de potência para cada termo para obter a derivada dessa função.
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Depois de obter a derivada da primeira derivada, podemos parar. Esta é a nossa resposta. Seguindo a regra de potência, vemos que nosso primeiro termo da primeira derivada, 4x ^ 3, torna-se 12x ^ 2, pois multiplicamos 4 e 3 e eliminamos o expoente por 1. O segundo termo, 9x ^ 2, concluímos o mesmo multiplicando o 9 e o 2 e diminuindo o expoente por 1 também. O último termo, 16x, tem um expoente de 1, portanto, multiplicamos 16 por 1 e, em seguida, diminuímos o expoente de 1 para 0, transformando x em 1. Nosso último termo para nossa segunda derivada é 16.
Vamos tentar mais alguns exemplos.
Exemplos
Vamos tentar obter a segunda derivada dessa função.
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Esta é uma função simples. Então, diga-me o que devemos fazer primeiro? Sim, devemos tirar a primeira derivada desta função. Qual regra devemos aplicar? Sim, precisamos aplicar a regra de potência novamente. Vamos fazer isso para ver o que temos.
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Tudo parece bem. Qual é o nosso próximo passo? Nosso próximo passo é obter a derivada da primeira derivada. Vamos fazer isso para encontrar nossa resposta.
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Aplicamos a regra do poder novamente para nos ajudar. Nossa resposta é 6x depois de tudo dito e feito.
Vamos tentar mais um. Desta vez, não vou dizer nada. Veja se você pode acompanhar.
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Usei a regra de potência para me ajudar a encontrar a segunda derivada do primeiro termo. Como o segundo termo é e ^ x, sei que a derivada de e ^ x é sempre e ^ x, de modo que esse termo permanece o mesmo em todo o processo.
Lembre-se de que, ao fazer derivativos, use as regras de derivativos que existem para ajudá-lo. Eles tornam sua vida mais simples, dando-lhe regras a serem seguidas que tornam mais fácil derivar as coisas.
Resumo da lição
A segunda derivada é a derivada da primeira derivada. Você acaba tirando a derivada duas vezes. Você precisará usar as regras e propriedades dos derivados para ajudá-lo.
Termo-chave
- segunda derivada: definida como a derivada da primeira derivada. Seu símbolo é a função seguida por duas marcas de apóstrofo.
Resultado da lição
Mostre sua capacidade de calcular a segunda derivada de uma função quando você tiver estudado suficientemente a lição.