Definição de uma elipse
Você está familiarizado com a forma de uma elipse? Você já comeu um burrito? Espere o que? O que essas duas coisas têm a ver uma com a outra? Acontece que eles têm algo a ver um com o outro! Veja, a ponta de um burrito assume a forma de uma elipse! Notou que a ponta do burrito parece um círculo que foi um pouco comprimido? Bem, é exatamente assim que uma elipse se parece!
Claro, um círculo comprimido não é a definição técnica de uma elipse! Para ser mais formal, definimos uma elipse como o conjunto de todos os pontos com distância de dois pontos fixos que somam o mesmo número. Chamamos os dois pontos fixos, F e G , de focos da elipse. Ainda mais formalmente, dizemos que uma elipse é o conjunto de todos os pontos, A , de forma que se F e G são os focos da elipse, então AF + AG é constante. Essa é uma definição bastante técnica, mas é bom saber, mesmo se preferirmos apenas pensar em uma elipse como um círculo que foi um pouco comprimido.
Eixo semi-maior de uma elipse
Agora que sabemos o que é uma elipse, vamos falar sobre algumas de suas partes. Em particular, queremos falar sobre o semi-eixo maior de uma elipse. No entanto, para introduzir o semi-eixo maior de uma elipse, devemos primeiro reconhecer o eixo maior de uma elipse!
Se fôssemos colocar uma elipse em um eixo x y , com a origem no centro da elipse, um dos eixos dentro da elipse seria um pouco mais longo que o outro, dependendo se o círculo foi comprimido vertical ou horizontalmente para criar a elipse.
Olhando para uma elipse dessa maneira, chamamos os dois eixos dentro da elipse de eixo maior e eixo menor da elipse. O eixo principal é o eixo mais longo e o eixo menor é o eixo mais curto.
Agora podemos definir o semi-eixo maior de uma elipse como a metade do eixo maior de uma elipse. Até agora, tudo bem … nada muito complicado. Vamos continuar!
Encontrando o eixo semi-maior
Agora que sabemos qual é o semi-eixo maior de uma elipse, vamos falar sobre como encontrar seu comprimento. Sabemos que é a metade do eixo principal, então seu comprimento seria a metade do comprimento do eixo principal e, como se constatou, o comprimento do eixo principal pode ser encontrado simplesmente somando a distância de um foco, F , a qualquer momento, uma , na elipse e a distância a partir do outro focos, L , para o mesmo ponto de um .
Vemos que AF + AG é igual ao comprimento do eixo principal. Portanto, temos o seguinte:
Comprimento do eixo maior = AF + AG , onde F e G são os focos da elipse e A é qualquer ponto na elipse.
Bem, se esse é o comprimento do eixo maior, então para encontrar o comprimento do semieixo maior, simplesmente o dividimos pela metade ou por 2:
Comprimento do semi-eixo maior = ( AF + AG ) / 2, onde F e G são os focos da elipse, e A é qualquer ponto na elipse.
Isso é muito fácil! Vamos tentar colocar essa fórmula em ação.
Exemplo
Suponha que você tenha um lago de formato elíptico em seu quintal e queira construir uma doca que vai até o centro do lago a partir da borda mais distante do centro. Em outras palavras, o cais representa o semi-eixo maior da lagoa. Um profissional que você contratou um tempo atrás fez algumas medições dos focos da lagoa até um ponto na borda da lagoa e descobriu que as duas distâncias são de 10 metros e 5 metros.
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Você deseja usar essas informações para encontrar o comprimento que o cais terá. Sem problemas! Basta somar as duas distâncias que o profissional encontrou para encontrar o comprimento do eixo maior e dividir por 2:
Comprimento da doca = (32 + 16) / 2 = 48/2 = 24.
Você descobre que a doca terá 7 metros. Problema resolvido!
Resumo da lição
Tudo bem, vamos revisar. Uma elipse assume a forma de um círculo que foi espremido horizontalmente ou verticalmente. Tecnicamente, se F e G são os focos, então uma elipse é o conjunto de todos os pontos, A , de forma que AF + AG seja constante. Uma elipse possui dois eixos dentro dela. Os eixos mais longos são o eixo principal , e ele passa pelo centro da elipse de uma extremidade à outra na parte mais larga da elipse. O semi-eixo maior é a metade do eixo maior.
Para encontrar o comprimento do semieixo maior, podemos usar a seguinte fórmula:
Comprimento do semi-eixo maior = ( AF + AG ) / 2, onde A é qualquer ponto na elipse e F e G são os focos da elipse.
É bom que estejamos mais familiarizados com essa característica de elipse, já que elipses aparecem com bastante frequência no mundo ao nosso redor na arquitetura, paisagismo, engenharia e até mesmo em um burrito!