Uma função
Para começar, vamos primeiro definir o que é uma função. Uma função produz uma saída ou resposta quando recebe uma entrada. Cada função executa sua própria função na entrada. Por exemplo, a função f (x) = x – 3 subtrai três da entrada para lhe dar uma resposta; entretanto, a função g (x) = sqrt ( x ) eleva ao quadrado a entrada para fornecer uma resposta.
Se dermos a mesma entrada para ambas as funções, veremos que cada função produz sua própria resposta. Se dermos 1 af (x) = x – 3, obteremos 1 – 3 = -2; mas se dermos a g (x) = sqrt ( x ) o mesmo 1, obteremos um sqrt (1) = 1. Cada função produz sua própria resposta. Pense em uma função como uma máquina que trabalha com a sua entrada e fornece uma saída ou resposta.
Uma função composta
Agora, o que acontece com as funções compostas? Uma função composta é a combinação de funções. Uma função composta essencialmente pega o resultado de uma função e o passa para outra. Em matemática, temos uma maneira de escrever isso. Quando estamos lidando com mais de uma função, rotulamos cada função com uma letra diferente. Portanto, uma função seria chamada de f (x) e a outra g (x) . Se estivermos passando o resultado de g (x) para f (x) , escrevemos essa função composta como f (g (x)) e a dizemos como f de g de x . Pense nesta função composta como a saída de uma máquina conectada à entrada de outra máquina.
Também podemos escrever uma função composta como uma grande função. Se estivermos passando a saída de g (x) = sqrt ( x ) para f (x) = x – 3, podemos escrever a função composta f (g (x)) como uma grande função inserindo g (x) sempre que vemos um x em f (x) . Nossa grande função será então parecida com f (g (x)) = sqrt ( x ) – 3. Você vê como substituí ax em f (x) por sqrt ( x ), que é g (x) ?
O domínio
Agora vamos falar sobre o domínio. O domínio é sua entrada aceitável. Tudo o que você atribui à sua função tem que funcionar, e esses valores são definidos pelo domínio. Nossa função f (x) = x – 3 possui um domínio de todos os números, pois podemos inserir qualquer número e obter uma resposta válida.
A função g (x) = sqrt ( x ), por outro lado, possui um domínio restrito. O domínio desta função contém todos os números maiores ou iguais a 0, portanto, apenas números positivos. Por que é isso? Se dermos a essa função um número negativo, como -2, obteremos um erro dessa função porque a raiz quadrada de um número negativo não está definida.
Como temos mais de uma função em uma função composta, devemos considerar o domínio de cada função quando consideramos o domínio da função composta. Para nossa função composta f (g (x)) = sqrt ( x ) – 3, embora o domínio de nossa função f (x) = x – 3 sejam todos números, ainda estamos restritos porque também temos que considerar o domínio de g (x) = sqrt ( x ). Porque o domínio de g (x) = sqrt ( x) está restrito apenas a números positivos, temos que incluir isso em nosso domínio. Portanto, nosso domínio para a função composta torna-se apenas números positivos. Temos que incluir todas as restrições de cada função para o domínio de nossa função composta.
The Range
O intervalo de uma função são as saídas possíveis. Especificamos o intervalo para funções que produzem resultados que são limitados de alguma forma. Para nossa função composta f (g (x)) = sqrt ( x ) – 3, o intervalo é todos os números maiores ou iguais a -3. Como obtivemos todos os números maiores ou iguais a -3? Conseguimos isso observando os componentes de nossa função.
Primeiro, o sqrt ( x ) nos diz que nossa saída só pode ser números maiores ou iguais a 0. Mas então temos -3 depois disso. O -3 nos diz que qualquer resposta que obtivermos da raiz quadrada é reduzida em 3, então nossa menor resposta possível é -3. Como essa é a nossa resposta mais baixa possível, nosso intervalo é todos os números maiores ou iguais a este número mais baixo possível, -3.
Resumo da lição
O que aprendemos? Aprendemos que onde uma função produz uma saída, ou resposta, quando dada uma entrada, a função composta é a combinação de funções. Se você comparar uma função a uma máquina que recebe alguma entrada e produz a saída, uma função composta pode ser comparada a uma série de máquinas em que a saída de uma máquina é conectada à entrada da próxima máquina.
Em matemática, escrevemos funções compostas usando uma letra diferente para cada função separada. Então, se nossas duas funções são f (x) = x – 3 e g (x) = sqrt ( x ), então a função composta onde a saída de g (x) é a entrada para f (x) é escrita como f ( g (x)) .
O domínio , entradas aceitáveis, é determinado olhando o que é uma entrada aceitável para cada uma das funções e, em seguida, incluindo todas as restrições. A faixa , possíveis saídas, é determinada olhando a função composta e vendo se ela tem uma resposta mínima ou máxima ou uma resposta que não pode ser.
Resultados de Aprendizagem
Permita que o conteúdo desta vídeo aula o ajude a:
- Definir e exemplificar uma função e uma função composta
- Compreenda a relação entre uma função e seu domínio e alcance