O que é uma distribuição binomial?
Uma distribuição de probabilidade é uma função ou regra que atribui probabilidades de ocorrência a cada resultado possível de um evento aleatório. As distribuições de probabilidade nos dão uma representação visual de todos os resultados possíveis de algum evento e a probabilidade de obter um resultado em relação aos outros resultados possíveis.
Uma distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade específica. É usado para modelar a probabilidade de obter um de dois resultados, um certo número de vezes ( k ), a partir de um número fixo de tentativas ( N ) de um evento aleatório discreto .
Uma distribuição binomial tem apenas dois resultados: o resultado esperado é chamado de sucesso e qualquer outro resultado é um fracasso. A probabilidade de um resultado bem-sucedido é p e a probabilidade de uma falha é 1 – p .
Um resultado bem-sucedido não significa que seja um resultado favorável, mas apenas o resultado contado. Digamos que um evento aleatório discreto foi o número de pessoas alvejadas por armas de fogo no ano passado. Estaríamos procurando a probabilidade de obter algum número de vítimas fora do grupo de tiroteios. Ser baleado não é um resultado favorável nem bem-sucedido para a vítima, mas é o resultado que contamos para essa variável discreta.
Critérios para usar distribuições binomiais
A distribuição binomial é usada para modelar as probabilidades de ocorrências quando regras específicas são atendidas.
- Regra # 1: Existem apenas dois resultados mutuamente exclusivos para uma variável aleatória discreta (ou seja, sucesso ou fracasso).
- Regra # 2: Há um número fixo de tentativas repetidas (ou seja, testes sucessivos sem nenhum resultado excluído).
- Regra # 3: Cada tentativa é um evento independente (o que significa que o resultado de uma tentativa não afeta os resultados das tentativas subsequentes).
- Regra # 4: A probabilidade de sucesso para cada tentativa é fixa (ou seja, a probabilidade de obter um resultado bem-sucedido é a mesma para todas as tentativas).
Quando um resultado de sucesso é uma igualdade
As distribuições binomiais seriam usadas para modelar situações em que o resultado bem-sucedido é exatamente um valor. Vejamos alguns exemplos.
Dado que um casal tem 5 filhos, qual é a probabilidade de que exatamente 3 sejam meninos?
Resultados possíveis: menino ou menina
Número fixo de tentativas independentes repetidas: 5
em 5 tentativas, exatamente 3 crianças são meninos = sucesso
Probabilidade de sucesso (0,5) + probabilidade de fracasso (0,5) = 1
Dadas 5 perguntas em um teste, qual é a probabilidade de acertar exatamente 2 perguntas aleatoriamente?
Resultados possíveis: certo ou errado
Número fixo de tentativas independentes repetidas: 5
em 5 tentativas, exatamente 2 questões respondidas corretamente = sucesso
Probabilidade de sucesso (0,5) + probabilidade de fracasso (0,5) = 1
Dadas 10 jogadas de um dado, qual é a probabilidade de você lançar o número 1 exatamente cinco vezes?
Resultados possíveis: role 1 ou role algo diferente de 1 (ou seja, 2, 3, 4, 5 ou 6)
Número fixo de tentativas independentes repetidas: 10
de 10 tentativas, exatamente cinco das jogadas acertam 1 =
probabilidade de sucesso de sucesso (1/6 = 0,17) + probabilidade de falha (5/6 = 0,83) = 1
Quando um resultado de sucesso é uma desigualdade
E quando o resultado bem-sucedido não for exatamente um resultado? Vamos reescrever a primeira situação assim:
Dado que um casal tem 5 filhos, qual é a probabilidade de que 3 ou mais sejam meninos?
Resultados possíveis: menino ou menina
Número fixo de tentativas independentes repetidas: 5
em 5 tentativas, 3, 4 ou 5 são meninos = sucesso
Probabilidade de sucesso (0,5) + probabilidade de fracasso (0,5) = 1.
Quando o resultado bem-sucedido assume mais de um valor exato, procuramos a probabilidade de uma distribuição binomial cumulativa . As distribuições binomiais cumulativas são calculadas de maneira diferente de quando os sucessos podem assumir apenas um valor. A fórmula de distribuição binomial se aplica a situações que não incluem probabilidades cumulativas.
Avaliando Distribuições Binomiais
Para calcular uma distribuição binomial, você precisará (a) inserir o valor correto em cada variável, (b) encontrar o coeficiente binomial e (c) avaliar a fórmula de probabilidade binomial. Aqui vamos nós!
Pergunta: Dado que um casal tem 5 filhos, qual é a probabilidade de exatamente 3 serem meninos?
(a) Primeiro, insira o valor correto em cada variável:
- n = número de ensaios independentes = 5
- k = sucesso = 3
- p = probabilidade de sucesso = 0,5
(b) Em seguida, encontre o coeficiente binomial :
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(c) Em seguida, avalie a fórmula de probabilidade binomial :
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Resposta: Dado que um casal tem 5 filhos, a probabilidade de que exatamente 3 deles sejam meninos é 0,3125.
Resumo da lição
Uma distribuição de probabilidade é uma função ou regra que atribui probabilidades de ocorrência a cada resultado possível de um evento aleatório. Uma distribuição binomial é um tipo de distribuição de probabilidade usada para modelar a probabilidade de obter um de dois resultados, um certo número de vezes ( k ), a partir de um número fixo de tentativas ( N ) de um evento aleatório discreto.
Para usar uma distribuição binomial, a situação que está sendo modelada deve obedecer a quatro critérios:
- Só pode haver dois resultados mutuamente exclusivos para uma variável aleatória discreta.
- Deve haver um número fixo de tentativas repetidas.
- Os testes devem ser independentes.
- A probabilidade de sucesso para cada tentativa é fixa.
Quando o resultado bem-sucedido pode assumir mais de um valor exato, procuramos a probabilidade de uma distribuição binomial cumulativa .
Para calcular uma distribuição binomial, identifique o número de tentativas independentes, o número de tentativas bem-sucedidas e a probabilidade de sucesso e avalie a fórmula de probabilidade binomial.