Dilatação em matemática: definição e significado

O que é dilatação?

Você já foi ao cinema e se perguntou de onde o filme estava sendo projetado? Como a pessoa do back office conseguiu que o filme se encaixasse perfeitamente na tela enorme? Bem, se você ainda não sabia, o processo usado para fazer os filmes caberem na tela de um filme é um exemplo perfeito de como as dilatações são usadas na vida real.

Uma dilatação é uma transformação que altera o tamanho de uma figura. Pode ficar maior ou menor, mas a forma da figura não muda. Para completar uma dilatação, duas coisas são necessárias. O primeiro é um ponto central (ou ponto fixo), que geralmente só é mencionado quando a dilatação deve ser desenhada.

O segundo é um fator de escala ou razão, que geralmente é representado pela variável r . Aqui, você pode ver como isso se relaciona com a experiência cotidiana do cinema. O feixe de luz seria o ponto central, a tira de filme seria a pré-imagem e o filme exibido na tela grande seria a imagem.

Ao completar as dilatações, frequentemente usamos a terminologia do exemplo acima. A figura original é chamada de pré-imagem e a figura recém-dilatada, denotada com marcas primárias, é chamada de imagem. Neste exemplo, nossa pré-imagem é o triângulo ABC, e ela é dilatada para produzir a imagem do triângulo A’B’C ‘.

Conhecer o fator de escala permite prever como a imagem ficará após a dilatação. Se o valor absoluto do fator de escala for menor que 1, a imagem será menor que a pré-imagem. Se o valor absoluto do fator de escala for maior que 1, a imagem será maior que a pré-imagem. Além disso, um fator de escala negativo faz com que a dilatação gire 180 graus.

As dilatações podem ocorrer em um plano de coordenadas e não em um plano de coordenadas. Vamos dar uma olhada em cada um.

Dilatações fora de um plano coordenado

Sem um plano de coordenadas, seu objetivo principal será calcular o comprimento do segmento de uma imagem dilatada. Uma fórmula geral a ser usada é Imagem = (Pré-imagem) * | Fator de escala | . Em outras palavras, multiplique a pré-imagem pelo valor absoluto do fator de escala. Devemos usar o valor absoluto porque os comprimentos devem ser sempre positivos (você não pode ter um comprimento ou distância negativos).

Para nosso primeiro exemplo, deixe AB = 8 e vamos dilatá-lo por um fator de escala de -2. O valor absoluto desse fator de escala é 2 positivo, que é maior do que 1. Portanto, podemos prever que o segmento A’B ‘será maior do que o segmento AB. Usando a fórmula acima, vemos que A’B ‘= (8) * (2) = 16.

Em nosso segundo exemplo, usaremos a mesma pré-imagem, mas desta vez, iremos dilatá-la por um fator de escala de 0,25. O valor absoluto desse fator de escala é 0,25, que é menor que 1. Com isso, podemos prever que o segmento A’B ‘será menor do que o segmento AB. Mais uma vez, para encontrar o comprimento de A’B ‘, multiplicaremos pelo valor absoluto do fator de escala. Portanto, A’B ‘= (8) * (. 25) = 2.

Dilatações em um plano coordenado

Agora, ao completar dilatações em um plano de coordenadas, seu objetivo principal será encontrar as coordenadas da imagem. Como não estamos encontrando o comprimento dos segmentos, não precisamos multiplicar pelo valor absoluto do fator de escala. Em vez disso, basta multiplicar cada coordenada pelo fator de escala. No entanto, ainda devemos usar o valor absoluto para prever se a imagem aumentará ou diminuirá de tamanho. Para os exemplos nesta lição, usaremos a origem (0, 0) como nosso ponto central. Vamos dar um exemplo.

Sejam D (2, -2) e E (6, -4) as coordenadas para nossa pré-imagem e vamos dilatar o segmento DE com um fator de escala de 0,5. Para completar isso, vamos multiplicar cada coordenada por 0,5. Ao fazer isso, vemos que as coordenadas para nossa imagem são D ‘(1, -1) e E’ (3, -2). Também podemos ver que nossa imagem é menor que nossa pré-imagem, já que o valor absoluto de nosso fator de escala é menor que 1.

Para nosso segundo exemplo, vamos usar a mesma pré-imagem e dilatá-la com um fator de escala de -2. Como esse fator de escala é negativo, nossa imagem terá uma rotação de 180 graus da pré-imagem. Como os valores absolutos são sempre positivos, o valor absoluto desse fator de escala é 2 positivo, fazendo com que nossa imagem seja duas vezes maior que a pré-imagem. Para determinar as novas coordenadas, multiplicaremos os pontos D e E por -2 para obter D ‘(-4, 4) e E’ (-12, 8), como você vê aqui.

Resumo da lição

Dilatações são transformações que alteram o tamanho da figura. O fator de escala o ajudará a determinar se a imagem será menor ou maior do que a pré-imagem. Para completar as dilatações, multiplique as coordenadas pelo fator de escala ou multiplique os comprimentos laterais pelo valor absoluto do fator de escala.

Pontos de Ênfase

Fazer um filme caber na tela é um exemplo de dilatação.

• Dilatação: uma transformação que muda o tamanho de uma figura
• Fator de escala: uma proporção
• Fórmula geral a ser usada para calcular o comprimento do segmento de uma imagem dilatada: Imagem = (Pré-imagem) * | Fator de escala |

Resultados de Aprendizagem

Assista e leia toda a lição para que você possa facilmente:

• Descreva as características de uma dilatação
• Cite as duas coisas necessárias para completar uma dilatação
• Entenda quais seriam seus objetivos principais ao completar dilatações em um plano de coordenadas ou sem um plano de coordenadas