Relações
Suponha que Riverview Elementary esteja fazendo um piquenique pai-filho, onde os pais e os filhos assinam um livro de visitas ao chegar.
Aqui está algo interessante! Esta lista de pais e filhos e como eles se relacionam na lista de convidados é na verdade matemática! Em matemática, uma relação é um conjunto de pares ordenados, ( x , y ), tal que x é de um conjunto X , ey é de um conjunto Y , onde x está relacionado com y por alguma propriedade ou regra.
Se deixarmos F ser o conjunto de todos os pais no piquenique, e S é o conjunto de todos os filhos, então a lista livro de visitas, chamá-lo de G , é uma relação de conjunto F ao conjunto S . Ou seja, G consiste em todos os pares ordenados ( f , s ), de modo que f é relacionado a s pela regra de que f é o pai de s .
Vamos considerar outro exemplo de relação no mundo real que não pareceria matemática à primeira vista. Considere a relação A que é definida pela regra ‘é um parente que veio antes desse indivíduo (um ancestral), ou é aquele indivíduo’. Em outras palavras, A é o conjunto de pares ordenados ( a , b ), de modo que a é um parente de b que veio antes de b , ou é b . Mais uma vez, ninguém pensaria que uma lista de pares como essa seria matemática, mas é!
Assimétrico e anti-simétrico
Quando se trata de relações, existem diferentes tipos de relações com base em propriedades específicas que uma relação pode satisfazer. Dois desses tipos de relações são relações assimétricas e relações anti-simétricas. Das duas relações que apresentamos até agora, uma é assimétrica e a outra é anti-simétrica. Vamos dar uma olhada em cada um desses tipos de relações e ver se podemos descobrir qual é qual.
Uma relação assimétrica , chame-a de R , satisfaz a seguinte propriedade:
- Se ( x , y ) é em R , em seguida, ( y , x ) não é em R .
Portanto, se um elemento x está relacionado a um elemento y por alguma regra, então y não pode ser relacionado ax por essa mesma regra. Em outras palavras, em uma relação assimétrica, não pode ocorrer dos dois lados.
Uma relação anti – simétrica , chame-a de T , satisfaz a seguinte propriedade:
- Se ( x , y ) e ( y , x ) estiverem em T , então x = y .
Ou seja, se um elemento x está relacionado a um elemento y , e o elemento y também está relacionado ao elemento x , então x e y devem ser o mesmo elemento. Assim, em uma relação anti-simétrica, a única maneira que pode ocorrer nos dois sentidos é se x = y .
Ok, nomes semelhantes, mas podemos ver que uma relação assimétrica é diferente de uma relação antissimétrica no sentido de que uma relação assimétrica absolutamente não pode ir nos dois sentidos, e uma relação antissimétrica pode ir nos dois sentidos, mas apenas se os dois elementos forem iguais.
Exemplos de relações
Vamos pensar sobre nossos dois exemplos de relações do mundo real novamente e tentar determinar qual é assimétrico e qual é anti-simétrico. Primeiro, considere a relação G consistindo de pares ordenados ( f , s ), tal que f é o pai de s . Hmmm. . . para esta relação para ser assimétrica, teria que ser o caso de que, se ( f , s ) está em L , em seguida, ( s , F ) pode não ser em L . Isso faz sentido! Se f é o pai de s , então s certamente não pode ser o pai de f. Isso seria biologicamente impossível! Portanto, G é assimétrico, então sabemos que não é anti-simétrico, porque a relação não pode ser em ambos os sentidos.
Agora, considere a relação A que consiste em pares ordenados, ( a , b ), tal que a é o parente de b que veio antes de b ou a é b . Para que essa relação seja anti-simétrica, tem que ser o caso de que se ( a , b ) e ( b , a ) estiverem em A , então a = b . Novamente, isso faz sentido! Se a é um parente de b que veio antes de b ou é b e bé um parente de a que veio antes de a ou é a , então deve ser o caso de a e b serem a mesma pessoa, porque não pode ser o caso de que a veio antes de b e b vieram antes de a . Portanto, a única possibilidade é que a seja b . Como é possível que haja ambos os lados nesta relação (desde que a = b ), a relação é antissimétrica, mas não pode ser assimétrica.
Se você está se perguntando sobre alguns exemplos que realmente parecem mais matemáticos, considere as relações <e ≤, onde ( a , b ) está em <apenas se a for estritamente menor que b , e ( c , d ) está em ≤ apenas se c é menor ou igual a d . A relação <é assimétrica, porque não pode ser o caso de que por dois números, um e b , uma < b e b < um , por isso, se ( a , b ) é em <, em seguida, ( b , um) não pode estar em <. Absolutamente não pode ir para os dois lados.
Por outro lado, a relação ≤ é antissimétrica, pois se para dois números c e d , ambos c ≤ d e d ≤ c , então deve ser o caso que c = d . A única maneira de ocorrer nos dois sentidos é c = d .
Resumo da lição
Uma relação é um conjunto de pares ordenados, ( x , y ), tal que x está relacionado com y por alguma propriedade ou regra. Dois tipos de relações são relações assimétricas e relações anti-simétricas, que são definidas da seguinte forma:
- Assimétricas satisfaz a seguinte propriedade – se ( a , b ) está em R , então ( b , a ) não pode estar em R .
- O anti-simétrico satisfaz a seguinte propriedade – se ( a , b ) e ( b , a ) estiverem em R , então a = b .
A maneira mais fácil de lembrar a diferença entre relações assimétricas e antissimétricas é que uma relação assimétrica não pode ser bidirecional, e uma relação antissimétrica pode ir para os dois lados, mas apenas se os dois elementos forem iguais.
Como vimos, as relações (assimétricas e anti-simétricas) podem facilmente aparecer no mundo ao nosso redor, mesmo em lugares que não esperávamos, então é ótimo estar familiarizado com elas e suas propriedades!