Determine a taxa de mudança de uma função
Você gosta de fazer suas tarefas? Que tal lavar a louça? Eu realmente odeio lavar a louça! Aqui está uma ideia para facilitar a lavagem da louça. Diga a seus pais que esta noite você vai lavar a louça por um centavo. Eu sei o que você está pensando. Você tem que aguentar comigo. Diga a eles que eles precisam dobrar seu salário todas as noites.
Ok, você ainda está comigo? Ok, contanto que você esteja comigo. Então, amanhã à noite você fará a fortuna total de 0,02 centavos. Mantenha-se firme. Você não pode esperar ficar rico durante a noite; pode demorar uma ou duas semanas. Onde eu estava? Oh sim, dia três. No dia três você ganharia 0,04 centavos, no dia quatro você ganharia 0,08 centavos, no dia cinco você ganharia 0,16 centavos, no dia seis você ganharia 0,32 centavos e no dia sete você ganharia 0,64 centavos! Yay!
0,64 centavos não é um pagamento ruim para lavar a louça, mas fica melhor na segunda semana. No primeiro dia da segunda semana, você receberá US $ 1,28. Acho que você vai gostar desta semana. No final dessa semana você estará ganhando quase $ 82,00 para lavar a louça! Você pode imaginar como será a terceira semana?
Você provavelmente nunca percebeu que ser um gênio da matemática pode ser tão lucrativo! O que descobrimos aqui é a taxa exponencial de mudança.
A taxa de mudança de uma função
Existem dois tipos de taxas de variação de uma função. Uma taxa exponencial de mudança aumenta ou diminui cada vez mais rapidamente, enquanto a taxa linear de mudança aumenta ou diminui de forma constante. Uma taxa exponencial de mudança é representada por uma equação envolvendo um expoente. Uma taxa linear de mudança é representada por uma equação que envolve apenas multiplicação ou adição. Uma taxa exponencial de mudança possui um gráfico que é curvo. Uma taxa linear de mudança tem um gráfico que é, bem, linear! Vamos nos concentrar especificamente nas taxas lineares de mudança.
Taxa linear de mudança de uma função
Muitas funções não são tão emocionantes como lavar a louça! Aposto que você nunca pensou que lavar a louça pudesse ser emocionante. Enfim, onde eu estava? Oh sim, taxas lineares de mudança. Uma taxa linear de mudança seria algo parecido com o acordo que a maioria das crianças faz com seus pais.
Suponha que seus pais concordassem que era sua função lavar a louça e que você receberia $ 1,00 cada vez que lavasse a louça. Você não conseguiria mais na segunda vez. Você simplesmente conseguiria outro. Que tal na terceira vez, quanto você receberia? Você adivinhou, você receberia $ 1,00. Espere um minuto, não existem notas de três dólares! Isso é melhor.
Agora você não vai ficar rico fazendo isso, vai? Mas, se você economizar seu dinheiro, ainda assim soma! Essa é uma taxa linear de mudança. Vejamos algumas funções matemáticas que envolvem taxas lineares de mudança.
Suponha que seu pequeno negócio eventualmente se torne um próspero negócio de lava-louças! E você andou pelo bairro lavando a louça de todo mundo! Isso vai ser ótimo!
Você desenvolve um plano em que cobra $ 2,00 por dia mais 0,25 centavos de dólar para cada prato. Isso pode ser escrito na equação: y = 0,25 x + 2, onde y representa seu pagamento total e x é o número de pratos.
Não importa quantos pratos você faça, você receberá $ 2,00. Mas, se você lavar 10 pratos, terá 0,25 * 10, ou outros $ 2,50 para adicionar aos seus $ 2,00. Na verdade, seus lucros poderiam ser expressos em uma tabela como esta.
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Você percebe como a coluna y da tabela sobe 0,25 centavos a cada vez? Isso é o que chamamos de diferença comum . A diferença comum em uma função linear é sempre constante; isso nunca muda. A diferença comum também é conhecida como taxa de variação .
Você vê a mesma taxa de mudança na equação? Isso significa que a taxa de mudança é o número multiplicado por x , ou como sabemos ao olhar para as funções, a taxa de mudança é o número multiplicado pelo valor do domínio, e essa taxa de mudança nos diz quanto a saída ou intervalo irá subir a cada passo. Isso também significa que, no gráfico, para cada espaço que a linha passa, ela sobe 0,25. Por causa disso, dizemos que a taxa de variação é de 0,25.
Revisão da lição
Uma taxa de mudança é a rapidez com que uma função muda. Essas taxas de mudança podem ser exponenciais ou lineares. As taxas exponenciais de mudança ficam cada vez mais rápidas à medida que avançam, enquanto as taxas lineares de mudança continuam a uma taxa constante. As taxas exponenciais de mudança resultam da multiplicação repetida, e as taxas lineares de mudança resultam da adição repetida da mesma coisa.
As taxas exponenciais de mudança têm um gráfico que é uma curva. As taxas lineares de mudança têm uma taxa constante de mudança que resulta em uma linha reta. Você pode determinar uma taxa de mudança de um gráfico observando o quanto uma função aumenta ou diminui em uma unidade. Bem, acho que você precisa começar a usar esses pratos! Pessoalmente, eu uso pratos de papel!
Resultados de Aprendizagem
Depois que esta lição terminar, você será capaz de:
- Nomeie e descreva as duas taxas de mudança para funções
- Identifique um gráfico como tendo uma taxa de mudança linear ou exponencial