Descontinuidades
Vamos falar sobre os tipos de descontinuidades considerando o comportamento dos OVNIs. Lembre-se de que uma descontinuidade é onde o valor de uma função salta, e uma função é contínua se você puder traçar o gráfico inteiro sem levantar o dedo do papel.
Considere um OVNI que está vagando pela Terra – talvez ele esteja verificando as plantações. Em algum momento, parece que ele salta para a Lua – mas apenas por um único instante. Talvez um pouco mais tarde, ele salte para Marte, mas, novamente, apenas para aquele exato momento no tempo. O que fizemos foi colocar buracos no gráfico onde ele não está em uma altitude específica em um determinado momento – mas apenas naquele instante. E colocamos um ponto no gráfico para onde ele está naquele momento particular.
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Descontinuidade de ponto
Cada ponto é um único ponto no tempo. Eu continuo dizendo a palavra ponto, então devo chamá-los de descontinuidades pontuais ou, se você quiser ser um pouco mais formal, descontinuidades removíveis .
Agora, por exemplo, que tal f (x) onde f (x) = 1 quando x <1 ou x > 1, e f (x) = 2 para x = 1. Então, naquele único ponto, x = 1, nossa função tem o valor 2, mas em todos os outros lugares, a função tem o valor 1. Portanto, este é um ponto, ou descontinuidade removível em x = 1.
Jump Discontinuity
Vamos considerar o mesmo OVNI agora, mas em vez de verificar a Lua em um único ponto no tempo, ele salta até a Lua. Então ele desaparece de nossas plantações e reaparece na Lua e então fica lá. Em algum momento, sua localização salta. Compreensivelmente, chamamos isso de descontinuidades de salto . Para descontinuidades de salto, a função salta para um novo valor.
Vejamos um exemplo matemático. Vejamos uma função onde f (x) = 1 para x menor ou igual a zero, e quando x > 0, de repente, f (x) = x . Estamos olhando para o lado direito do gráfico agora, e no ponto x = 0, temos um salto em nossa função.
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Outro exemplo é a função do piso de x , f (x) = piso ( x ). Portanto, o piso (x) é arredondado para baixo, de modo que o piso de 4.1 seja 4 e o piso de 4,9 seja 4 e o piso de 4,999999 seja 4. Você também pode pensar nisso como cortar tudo para o lado direito da vírgula decimal . Se eu representar graficamente o andar ( x ), obtenho um padrão de escada. Se x <5, mas x for maior ou igual a 4, o valor será 4. Se x = 2,3, então f (x) = 2. Agora, a cada inteiro , a função salta, então você pode pensar nela como tendo um número infinito de descontinuidades de salto.
Descontinuidade Assintótica
Ok, temos descontinuidades de pontos e continuidades de salto, então o que acontece se o OVNI der uma queda livre e realmente entrar na Terra, talvez em direção ao centro da Terra? E, de repente, você o vê lá em cima no espaço e voando de volta para checar as colheitas novamente. Talvez haja algum tipo de buraco de minhoca. Nesse momento, temos uma assíntota vertical . Portanto, esse tipo de descontinuidade, em que levantamos nosso dedo e o colocamos em outro lugar, é chamado de descontinuidade assintótica .
Vejamos um exemplo matemático. Diga f (x) = 1 / x , e sabemos que o gráfico é assim. Em x = 0, temos uma assíntota vertical e uma descontinuidade assintótica. E sobre a função f (x) = x ^ -2? Bem, isso realmente quer dizer que f (x) = 1 / ( x ^ 2). Nós temos o mesmo problema; isso não é definido em x = 0.
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Vejamos algo um pouco mais complexo. Este gráfico parece muito ocupado. Não sei o que é essa função, mas vamos apenas analisar o gráfico. Em x = 1, há uma descontinuidade pontual ou descontinuidade removível. Em x = 2, temos uma descontinuidade de salto, porque a função salta para aquele valor particular de x . Em x = 3, não há descontinuidade. Claro, há uma espécie de canto no gráfico, mas posso traçar essa linha sem levantar meu dedo, então isso é contínuo. E, em x = 5, temos uma descontinuidade assintótica, onde a função se aproxima do infinito negativo e então reaparece no infinito. Portanto, temos todos os três tipos de descontinuidades: pontos, saltos e assintóticos.
Resumo da lição
Para recapitular, existem três tipos de descontinuidades para f (x) .
O ponto, ou descontinuidade removível, é apenas para um único valor de x , e se parece com pontos únicos que são separados do resto de uma função em um gráfico. Uma descontinuidade de salto é onde o valor de f (x) salta em um ponto particular. Uma descontinuidade assintótica é quando o valor de f (x) vai para +/- infinito em um ponto particular em x .