Taxa Instantânea de Mudança
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Vamos dar uma outra olhada no Super C, nossa bala de canhão humana, e vamos olhar especificamente para sua altura em função do tempo. Aqui estou dizendo h = f (t) . Agora, para alguns detalhes, o que sabemos? Sabemos que sua taxa média de variação é zero, porque seu ponto final e seu ponto inicial são ambos zero. Também sabemos, pelo teorema de Rolle, que a taxa instantânea de mudança em algum lugar ao longo de seu caminho também será zero. Sabemos que em algum lugar ao longo deste caminho há uma tangente a essa curva que é igual a zero, mas como encontramos isso?
Bem, vamos começar a aumentar o zoom em alguns pontos. Vejamos especificamente t = 1. Agora, se aumentarmos o zoom e quisermos estimar qual é a velocidade de Super C em t = 1, o que podemos fazer é ver quão alto ele está em t = 1, que é f (1), e comparar com quão alto ele está algum tempo depois, 1 + delta t . Para encontrar sua velocidade média entre esses dois pontos, simplesmente tomaríamos sua altura no tempo 1 + delta t , subtrairíamos sua altura em t = 1 e dividiríamos por delta t . Isso nos daria uma boa ideia de sua velocidade, que é a inclinação, a tangente em particular, em t = 1.
Declives como uma tangente
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Poderíamos escrever isso para qualquer momento em que a inclinação fosse aproximadamente igual a ( h ( t + delta t ) – h (t) ) / delta t . Conforme delta t vai para zero, a região que estamos olhando fica cada vez menor e, eventualmente, a inclinação vai se igualar à tangente. Isso vai acontecer quando o delta t chegar a zero. Então, vamos escrever que a tangente em h (t) é igual ao limite conforme delta t se aproxima de zero de ( h ( t + delta t ) – h (t) ) / delta t. Esta é a tangente à curva; esta é a derivada de h (t) .
Resumo da lição
Uma das partes mais fundamentais do cálculo é que a derivada de qualquer ponto é igual à tangente da curva naquele ponto. Então, quando voltamos ao Super C, a tangente de sua altura em função do tempo, e em qualquer ponto ao longo dessa curva, é igual à derivada naquele ponto.
Se descobrirmos onde a derivada é igual a zero – onde a taxa instantânea de mudança é igual a zero – então este gráfico tem uma tangente igual a zero e a derivada é zero.