Negocio

Derivados, interceptos e assíntotas de esboço de curvas

Esboço de Curva – Introdução

No início do cálculo, a ênfase é colocada em derivar propriedades de funções. As propriedades da função podem ser agrupadas nas seguintes categorias:

(1) domínio, alcance e simetria,

(2) limites, continuidade e assíntotas,

(3) derivados e tangentes, e

(4) valores extremos, intervalos de aumento e diminuição, concavidade e pontos de inflexão.

Nesta lição, as informações listadas nas quatro categorias amplas são aproveitadas para esboçar os gráficos de funções que revelam os recursos importantes das funções. A lista de verificação a seguir pretende ser um guia para esboçar uma curva y = f (x) à mão. Ao aplicar a lista de verificação para esboçar uma função, nem todos os itens são relevantes para todas as funções. Por exemplo, um gráfico pode não ter uma assíntota ou possuir interceptos x.

Intercepta

A interceptação y da função é f (0) e isso indica onde a curva intercepta o eixo y.

Para encontrar os interceptos x, defina y = 0 e resolva para x. Isso pode envolver o uso de divisão sintética para polinômios de alta ordem, identidades trigonométricas para funções trigonométricas ou regras logarítmicas para funções exponenciais. Esta etapa pode ser omitida se a equação for computacionalmente difícil de resolver.

Assíntotas

A partir do cálculo, se o seguinte cálculo de limite for válido:

nulo

então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f (x). E se

nulo

Assíntotas horizontais de funções racionais podem ser encontradas examinando os expoentes dos termos de grau mais alto no numerador e denominador.

  • Se o termo com o expoente mais alto no numerador tiver o mesmo expoente que o termo com o expoente mais alto no denominador, então há uma assíntota horizontal em y igual à razão de seus coeficientes.
  • Se o expoente do termo líder no denominador for menor que o expoente do termo líder do numerador, então não há assíntota horizontal.
  • Se o expoente do termo líder do denominador for maior do que o expoente do termo líder do numerador, então há uma assíntota em y igual a zero.

A linha x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

nulo

nulo

Para funções racionais, as assíntotas verticais podem ser localizadas igualando o denominador a zero após o cancelamento de quaisquer fatores comuns.

Além disso, as funções racionais podem ter assíntotas inclinadas se o grau do numerador for um a mais que o grau do denominador. A assíntota inclinada é o quociente resultante da divisão longa.

Usando Derivados

Os números críticos de uma função são os números c onde f ‘(c) = 0 ou f’ (c) não existe. Se f ‘muda de positivo para negativo em um número crítico c , então f (c) é um máximo local. Se f ‘muda de negativo para positivo em c , então f (c) é um mínimo local. Este procedimento é conhecido como Teste da Primeira Derivada.

Alternativamente, se f ‘(c) = 0 ef’ ‘(c) não é zero, então f’ ‘(c)> 0 implica que f (c) é um mínimo local ef’ ‘(c) <0 implica que f (c) é um máximo local. Este procedimento é conhecido como Teste de Segunda Derivada. Além disso, a curva é côncava para cima onde f » (x)> 0 e côncava para baixo onde f » (x) <0. Os pontos de inflexão ocorrem onde a direção da concavidade muda.

Exemplo

Use os métodos desta lição para esboçar a curva:

nulo

(1) O domínio é:

nulo

(2) Os interceptos xey são ambos 0.

(3) As assíntotas são calculadas da seguinte forma:

nulo

Portanto, a linha y = 2 é uma assíntota horizontal.

Como o denominador é 0 quando x = 1 ou x = -1, então, pelos seguintes cálculos de limite,

nulo

nulo

Assim, as retas x = 1 e x = -1 são assíntotas verticais.

(4) Usando a regra de quociente para diferenciação, a primeira derivada é calculada como

nulo

O único número crítico é x = 0. Como f ‘muda de positivo para negativo em 0, f (0) = 0 é um máximo local pelo Teste da Primeira Derivada.

A segunda derivada é

nulo

Como o numerador é sempre maior que zero, f » (x)> 0 se e somente se | x | > 1 e f » (x) <0 se e somente se | x | <1. Assim, a curva é côncava para baixo no intervalo aberto (-1, 1) e é côncava para cima em todos os outros lugares. Não há ponto de inflexão, pois -1 e 1 não estão no domínio de f.

Combinando todos os cálculos anteriores, o esboço da curva é como mostrado:

nulo

Resumo da lição

As etapas de esboço de curva apresentadas nesta lição são apenas algumas das etapas essenciais necessárias para representar graficamente uma função. As assíntotas horizontais e verticais podem ser calculadas tomando-se os limites apropriados de uma função. Os interceptos y de uma função são encontrados definindo x igual a zero. As interceptações x de uma função são encontradas definindo a função igual a zero e resolvendo para as raízes. Os números críticos identificam pontos no gráfico que são máximos ou mínimos relativos. A segunda derivada de uma função indica em quais intervalos a função é côncava para cima ou côncava para baixo.