Definição Derivada Parcial
Calorias consumidas e calorias queimadas têm impacto sobre nosso peso. Digamos que nosso peso, u , dependa das calorias dos alimentos ingeridos, x , e da quantidade de esforço físico que fazemos, y . Se apenas regulássemos nossa alimentação, enquanto fazemos o mesmo exercício todos os dias, poderíamos perguntar como u muda quando variamos apenas x . Da mesma forma, poderíamos manter x constante e observar como u varia quando mudamos y . Isso seria como manter uma dieta diária constante enquanto mudamos a quantidade de exercícios. Esta ideia de mudança em relação a uma variável, enquanto mantém outras variáveis constantes, está no cerne da derivada parcial.
Quando escrevemos u = u ( x , y ), estamos dizendo que temos uma função, u , que depende de duas variáveis independentes: x e y . Podemos considerar a mudança em u em relação a qualquer uma dessas duas variáveis independentes usando a derivada parcial. A derivada parcial de u em relação a x é escrita como:
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O que isso significa é obter a derivada usual, mas apenas x será a variável. Todas as outras variáveis serão tratadas como constantes. Também podemos determinar como u muda com y quando x é mantido constante. Esta é a parcial de u em relação a y . Está escrito como:
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Por exemplo, se u = y * x ^ 2, então:
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Da mesma forma, podemos diferenciar com respeito ay e tratar x como uma constante com a equação:
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A regra para derivadas parciais é que diferenciamos em relação a uma variável enquanto mantemos todas as outras variáveis constantes. Como outro exemplo, encontre as derivadas parciais de u em relação ax e em relação a y para:
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Para fazer este exemplo, precisaremos da derivada de um exponencial com o seguinte:
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E a derivada de um cosseno, que é escrita como:
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Portanto:
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e
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Derivados de segunda ordem
Até agora, definimos e demos exemplos para derivadas parciais de primeira ordem. Derivadas parciais de segunda ordem são simplesmente a derivada parcial de uma derivada parcial de primeira ordem. Podemos ter quatro derivadas parciais de segunda ordem, que você pode ver aqui:
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Continuando com nosso primeiro exemplo de u = y * x ^ 2,
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Da mesma forma,
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E em nosso segundo exemplo:
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Os derivados parciais mistos tornam-se:
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e
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Observe que sempre obteremos:
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Isso pode ser usado para verificar nosso trabalho.
Estendendo Derivados Parciais
E se as variáveis x e y dependem também de outras variáveis? Por exemplo, poderíamos ter x = x ( s , t ) ey = y ( s , t ).
Então, como você pode ver, obtemos as derivadas parciais por meio da adição das diferentes derivadas parciais de x e y .
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Vamos resolver isso com as seguintes funções:
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Encontrar:
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Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem necessárias:
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Então:
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Outras Notações Derivadas
Derivadas parciais podem ser expressas usando um subscrito. No caso de derivadas parciais de primeira ordem:
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Para derivadas parciais de segunda ordem:
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Se você olhar atentamente para cada etapa no exemplo a seguir, verá por que a ordem dos subscritos para derivadas parciais mistas é invertida, o que é refletido aqui:
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Resumo da lição
Vamos revisar rapidamente o que aprendemos sobre derivadas parciais. Primeiro, vimos que as derivadas parciais são avaliadas tratando uma variável como a variável independente, mantendo todas as outras variáveis constantes. Podemos obter derivadas parciais de primeira ordem seguindo as regras de diferenciação ordinária.
Em seguida, vimos como as derivadas parciais de segunda ordem são derivadas parciais de derivadas parciais de primeira ordem. A seguir, vimos como avaliar as derivadas parciais quando as variáveis dependem de outras variáveis. Finalmente, vimos uma notação subscrita para expressar a derivada parcial, tanto com a primeira como com a segunda ordem.