A área de superfície de uma esfera
A ideia de uma área de superfície é fácil de entender quando o objeto é plano como um quadrado ou triângulo. Mesmo um objeto tridimensional feito de superfícies planas tem uma equação fácil de entender para a área da superfície. Mas e uma superfície curva? Que tal uma esfera?
Uma esfera é um tipo especial de objeto tridimensional. Se conhecermos o raio, R , podemos encontrar outras características da esfera, como seu volume e área de superfície.
Por exemplo, a área de superfície total, A , é 4n vezes o quadrado de R . Nesta lição, mostramos como derivar essa equação.
Raio, ângulo e comprimento de arco
O raio, R , vai do centro da esfera até sua superfície externa. Também poderíamos desenhar outro raio, r . Este raio também toca a superfície, mas começa perpendicular a uma linha vertical que passa pelo centro da esfera:
Um ângulo, θ, fornece uma relação entre R e r :
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Podemos deslocar r :
Use a definição de cosseno (lado adjacente sobre a hipotenusa):
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Resolvendo para r :
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Ótimo! Nós usaremos esse r – R relacionamento mais tarde. Agora, vamos nos aprofundar na ideia de comprimento de arco.
Sabemos que uma vez ao redor de um círculo é 360 o, que é o mesmo que 2π radianos. Sabemos também, o perímetro de um círculo como sendo 2π R .
Se θ for algum ângulo arbitrário menor que 2π, então θ / 2π é uma fração. O comprimento ao longo do arco (mais conhecido como o comprimento do arco ), s , subtendido por θ é uma fracção do comprimento total 2π R . Esta fracção é dado por s / 2π R . Essas frações são iguais:
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Os fatores 2π se cancelam de cada lado da equação, deixando:
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Resolvendo para s :
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Podemos tirar a derivada de ambos os lados:
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Na segunda linha, usamos a regra do produto que fornece dois termos. Mas d R é 0 porque R é uma constante. Ou seja, θ d R é 0. Assim, ficamos com apenas um termo na terceira linha, dando-nos outro resultado muito útil:
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Usando integração
Com esses resultados, iremos integrar para derivar a equação da área de superfície total. Mas, primeiro, vamos revisitar o círculo traçado por r .
Se desenharmos outro círculo imediatamente abaixo dele com o mesmo raio, obteremos o círculo que aparece aqui:
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A separação entre os dois círculos é um comprimento de arco infinitamente pequeno, d s :
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Podemos abrir esta banda para obter um retângulo:
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A área do retângulo, d a , é uma área diferencial igual ao comprimento vezes a largura. Este retângulo tem comprimento, 2π r , e largura, d s . Assim, a área, d a , deste cilindro infinitamente fino é:
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Para encontrar a área de superfície total da esfera, somamos (integrando) todas essas áreas diferenciais:
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Acabamos de determinar a área diferencial, d a , como 2π r vezes d s :
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Substitua R cos θ por r e R dθ por d s :
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Notamos que R vezes R é R ao quadrado:
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O fator 2π R 2 é uma constante que sai da integral:
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Tudo que nos resta é resolver a integral do cosseno. Os limites de integração cobrem a faixa de valores para θ que correspondem à superfície total da esfera. No ponto mais baixo da esfera, θ = -π / 2. No ponto mais alto, θ = π / 2. Portanto,
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O anti-derivado do cosseno é o seno:
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Na segunda linha, substituímos o limite superior pelo anti-derivado e então subtraímos o anti-derivado avaliado no limite inferior. Sin (π / 2) é 1, enquanto sin (-π / 2) é -1. Simplificar nos dá o resultado de 2 que vemos na quarta linha.
A integral avaliada é 2. Assim,
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E terminamos de derivar a equação para a área total da superfície de uma esfera:
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Resumo da lição
Vamos dar alguns minutos para revisar o que aprendemos nesta lição. Comprimento de arco , s , é o comprimento ao longo de um arco subtendido por um ângulo, θ. O comprimento de arco é o raio, R , multiplicado por θ.
Isso leva à fórmula diferencial:
d s = R dθ
A relação r – R entre o raio, R , da esfera e um raio, r , de um círculo (localizado a um ângulo θ de uma linha horizontal) é r = R cos θ.
Uma área diferencial , d um , é definida de acordo com a ideia de um cilindro fino de altura d s e o raio r . Isto leva a:
d a = 2π r d s
Substituir r e d s dá uma equação onde d a é uma função de dθ. A integração de d a sobre todo θ dá a fórmula para a área de superfície total de uma esfera:
A = 4π R 2