Compreendendo as desigualdades
Aprendemos que uma desigualdade é apenas uma equação que tem um símbolo de maior ou menor que em vez de um sinal de igual, e eles nos ajudam a dizer coisas como ‘Preciso de pelo menos 80% para tirar um B em meu teste de história’ ou ‘a quantidade de dinheiro que gasto em videogames e passagens aéreas deve ser inferior a US $ 3.000’. O primeiro exemplo era uma desigualdade de 1 variável porque o único tópico sendo discutido era a pontuação de um teste, enquanto o segundo era uma desigualdade de 2 variáveis porque havia videogames e passagens aéreas envolvidos.
Desigualdades compostas
Porém, às vezes, queremos ser mais específicos do que esses dois últimos exemplos. Em vez de dizer ‘Preciso de pelo menos 80% para B’, seria mais preciso dizer ‘Preciso de 80% a 90% para obter B.’ Quando mudamos ‘maior que 80’ para ‘entre 80 e 90’, mudamos esta desigualdade única em uma desigualdade composta porque agora tem duas condições: x ≥ 80 e x <90. Neste caso, para um número, x , para fazer parte da solução, ambas as condições devem ser satisfeitas. Por exemplo, 92 é maior ou igual a 80, mas não é menor que 90. Portanto, não é B.
Isso também muda nosso gráfico de um único ponto com uma seta indo para sempre em uma direção, para dois pontos com um segmento de linha conectando-os. Conseguimos essa imagem traçando um gráfico de uma desigualdade de cada vez e vendo onde os dois gráficos se sobrepõem. Podemos começar fazendo o gráfico de x ≥ 80. Colocamos um círculo fechado em 80 e desenhamos uma seta indo para a direita para indicar que a resposta pode ser qualquer número 80 ou maior. A seguir, representamos o gráfico de x<90 colocando um círculo aberto em 90 e desenhando uma seta indo para a esquerda para indicar que a resposta pode ser qualquer número menor que 90. Mas então temos que lembrar que a solução é o espaço onde ambas são verdadeiras. Isso significa que a única parte do gráfico que queremos é onde eles se sobrepõem, e o que terminamos é uma linha conectando nossos dois pontos. Uma desigualdade composta em que as duas condições devem ser satisfeitas é chamada de desigualdade composta ‘e’ e terá um gráfico com um único intervalo, como este.
 |
Mas também podemos ter as chamadas desigualdades «ou» compostas. Por exemplo, se, em vez disso, estivéssemos descrevendo as diferentes maneiras que eu poderia obter algo diferente de B, gostaríamos de dizer que eu poderia obter menos de 80 ou maior ou igual a 90. Agora, em vez de ter que satisfazer Ambas as condições como antes, a resposta pode satisfazer qualquer um e ainda estar bem. Obter menos de 80 é uma maneira de não obter um B, mas obter 90 ou mais é outra maneira. Ambos funcionam.
Por exemplo, 72% é menor que 80, então não é B. Não importa que também não seja maior que 90. Ele só precisa satisfazer uma das condições. Isso significa que nosso gráfico também é um pouco diferente. Novamente serão duas setas, mas desta vez não precisaremos que elas se sobreponham. Podemos colocar um círculo aberto em 80 e desenhar nossa seta para a esquerda mostrando que todos os valores menores que 80 estão incluídos. Então, podemos colocar um círculo fechado em 90 e desenhar nossa seta para a direita para mostrar que todos os valores maiores ou iguais a 90 estão incluídos. Novamente, não estamos preocupados sobre onde esses gráficos se sobrepõem, porque satisfazer qualquer uma dessas condições é suficiente; eles não precisam satisfazer ambos para não serem B. Uma desigualdade composta em que apenas uma condição deve ser satisfeita é chamada de ‘ou’ e terá um gráfico com dois intervalos parecido com este:
 |
Definir notação e notação de intervalo
Antes de prosseguirmos, vamos falar sobre duas notações matemáticas comumente usadas para descrever os conjuntos de solução de desigualdades compostas. O primeiro é chamado de notação de conjunto . Se tivéssemos que escrever o conjunto de solução para nossa desigualdade composta ‘e’ na notação de conjunto, seria algo assim:
{ x | x > 80 e x <90}
O que isso literalmente diz é que o conjunto de solução é composto por todos os valores de x , de modo que x é maior ou igual a 80 e menor que 90. Caso você esteja se perguntando, o símbolo da linha vertical, |, é traduzido como a frase ‘tal este.’ Você pode ver dois pontos usados em vez da linha vertical às vezes, mas eles significam exatamente a mesma coisa. O conjunto de solução de uma desigualdade composta ‘ou’ é escrito da mesma maneira, mas com a palavra ‘ou’ usado em vez de ‘e’:
{ x | x <80 ou x > 90}
Isso diz que o conjunto de soluções são todos os valores de x , de modo que x seja menor que 80 ou maior ou igual a 90.
Continuando, a segunda notação que podemos usar é chamada de notação de intervalo . Essa notação é especialmente compacta e usada com mais freqüência do que a notação de conjunto para expressar conjuntos de solução de inequações compostas. Por exemplo, a resposta à nossa desigualdade composta ‘e’ poderia ser expressa usando a notação de intervalo como esta: [80,90)
O primeiro número é o limite inferior e o segundo é o limite superior. O colchete de abertura, [, indica que 80 está incluído na solução e é equivalente a dizer maior ou igual a. O parêntese de fechamento na outra extremidade,), indica que 90 não está incluído na solução e é o mesmo que dizer menos que.
Expressar a solução para desigualdades ‘ou’ compostas é um pouco mais complicado porque há dois intervalos na solução em vez de um. Se expressássemos a solução para nosso exemplo anterior de como não obter um B, seria assim: [0, 80) U [90,100]
O símbolo, U, no meio representa união e significa que ambos os conjuntos são parte da solução. O primeiro conjunto diz que qualquer coisa de 0 até, mas não incluindo 80, não é um B, e o último nos diz que qualquer coisa de 90 a 100 também não é um B. Novamente, os números nos mostram os limites e os colchetes e os parênteses nos dizem se o limite é, ou não, parte da solução.
Sistema de Desigualdades
Assim como podemos ter múltiplas desigualdades de 1 variável em um único problema, também podemos ter múltiplas desigualdades de 2 variáveis em um único problema. Quando isso acontece, é chamado de sistema de desigualdades .
Podemos representar graficamente um sistema de desigualdades trabalhando com uma desigualdade de cada vez. Por exemplo, e se nos pedissem para encontrar a área do gráfico onde ambas as desigualdades a seguir fossem verdadeiras?
- y > x + 1
- y ≤ – x + 5
Começaríamos traçando o gráfico da primeira desigualdade, y > x + 1, em nosso plano de coordenadas, obtendo isso.
 |
Poderíamos então representar graficamente a segunda desigualdade, y ≤ – x + 5 diretamente em cima dela para obter isso.
 |
Como queremos saber onde ambas as desigualdades são verdadeiras, estamos procurando a área onde o sombreamento se sobrepõe, deixando nossa resposta como a área roxa neste gráfico.
Há momentos em que um sistema de desigualdades não terá solução. Vamos expandir nosso exemplo anterior adicionando uma terceira desigualdade: y > -2 x + 50. Queremos saber se existe um conjunto de soluções para as quais todas as três desigualdades são verdadeiras. Como podemos ver no gráfico, existem vários lugares onde o sombreado para quaisquer duas das três desigualdades se sobrepõe, mas nenhuma área única onde todas as três se sobrepõem. Isso significa que não há solução para esse conjunto de três desigualdades, o que é uma resposta perfeitamente válida!
 |
Resumo da lição
Para revisar, desigualdades compostas são problemas com duas desigualdades de 1 variável nelas. Se uma resposta deve satisfazer ambas as desigualdades, é chamada de desigualdade composta ‘e’ , mas se satisfazer uma das desigualdades é suficiente para ser uma solução, então é chamada de desigualdade composta ‘ou’ . Existem duas notações matemáticas comumente usadas para descrever os conjuntos de solução de inequações compostas: notação de conjunto e notação de intervalo .
Os sistemas de desigualdades são problemas com duas ou mais desigualdades de 2 variáveis. Você pode representar graficamente um sistema de desigualdades trabalhando com uma desigualdade de cada vez.
Resultados de Aprendizagem
Depois de concluir esta lição, você será capaz de:
- Explique a diferença entre uma ‘e’ igualdade composta e uma ‘ou’ desigualdade composta
- Represente graficamente uma desigualdade composta
- Escreva uma desigualdade composta em notação de conjunto ou intervalo
- Identifique as soluções para um sistema de desigualdades