Decomposição parcial da fração
Construir um castelo de cartas é obter resultados complicados de algo mais simples, que é o oposto da decomposição de fração parcial (PFD) , onde você obtém resultados mais simples de algo complicado. Mas, assim como um castelo de cartas, a decomposição da fração parcial precisa de estrutura e regras.
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Tenho certeza de que você já viu frações antes, mas e as frações polinomiais ? Eles têm polinômios para o numerador e o denominador. Por exemplo:
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Ambos os polinômios estão no formato padrão : os termos são ordenados do expoente mais alto para o mais baixo. Aqui está outra ideia-chave: a ordem de um polinômio , que é o expoente numerado mais alto. Nosso polinômio numerador de forma padrão tem um primeiro termo de 2 x 1 . A ordem do numerador é 1. A ordem do polinômio denominador é 2, já que x 2 é o maior expoente. A primeira regra do PFD é que a ordem do denominador deve ser maior do que a ordem do numerador.
Configurando o Trabalho
Por favor, não entre em pânico com a seguinte equação. São apenas quatro casos de PFD combinados em uma única expressão.
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O fator ( x + 2) é linear, enquanto ( x 2 – 2 x + 2) é quadrático. O ( x – 1) 2 é um fator linear elevado a uma potência, enquanto ( x 2 + 4) 2 é um fator quadrático elevado a uma potência. As setas apontam para o PFD.
Fatores Lineares
Fatores lineares têm x elevado à primeira potência:
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Aqui está uma fração com dois fatores lineares:
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Lembra da importância da estrutura no castelo de cartas? Nossa estrutura aqui é:
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Parece um castelo de cartas, não é? Ok, talvez não, mas temos uma regra para fatores lineares : para cada fator linear, escreva uma nova fração de uma letra maiúscula sobre o fator linear. Em seguida, adicione essas novas frações.
Neste exemplo, o lado direito da equação se torna a soma de duas novas frações. É assim que encontramos um denominador comum:
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Uma vez que o lado esquerdo deve ser igual ao lado direito, os numeradores devem ser iguais, e podemos simplificar nossa equação:
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Qualquer valor pode ser substituído por x , embora alguns valores simplifiquem melhor do que outros. Supondo que x = 1 elimine o A já que 1 – 1 = 0, e com alguma álgebra nos dê B = 1. Supondo que x = -2, podemos eliminar o B com -2 + 2 = 0, nos dê A = 3 . Agora temos nossa decomposição:
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Fatores quadráticos têm x elevado à segunda potência:
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Vamos decompor esta equação:
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Fatores Quadráticos
O primeiro fator no denominador é quadrático. Esta é a regra para fatores quadráticos : escreva Ax + B no numerador de uma nova fração e o fator quadrático como denominador.
O segundo fator no denominador é linear. Em nossa nova fração, ele obtém uma única letra sobre o fator linear. Nossa estrutura aqui é:
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Tal como acontece com as equações lineares, usamos denominador comum e, em seguida, igualamos numeradores:
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Substituindo x = -2 (para eliminar A e B ), obtém-se C = 3. Expandindo as multiplicações do lado direito e agrupando os termos:
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E se compararmos o lado esquerdo com o lado direito? Para ser claro, estamos olhando para:
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Do lado da mão direita, olhar para o que está se multiplicando o x 2 – é A + C . Agora olhamos para o lado esquerdo e vemos o termo x 2 sendo multiplicado por 5. Nossa conclusão? A + C = 5.
O 8 sozinho no lado esquerdo se compara ao que está no lado direito? Aqui está uma dica: no lado direito, encontre os termos que não estão sendo multiplicados por um x ou um x 2 . Você está certo! 2 B + 2 C = 8.
Depois de fazer essas comparações, podemos escrever:
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Usar C = 3 nos dá A = 2 e B = 1. O resultado é:
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Fatores lineares elevados a uma potência
Que tal um fator linear elevado à segunda potência?
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A estrutura aqui é:
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Sabemos sobre fatores lineares. A nova fração possui uma única letra sobre o fator linear. Mas aqui temos ( x – 1) 2 . A potência de 2 requer não uma, mas duas novas frações. Então, se fosse ( x – 1) 3 , teríamos três frações antes da fração ( x + 2) (que agora tem um numerador de D ) e eles teriam como denominadores ( x – 1), ( x – 1 ) 2 , e ( x -1) 3 , com correspondentes numeradas de Um , B , e C . A regra para fatores elevados à potência né: o lado direito é a soma de n novas frações onde o numerador de cada fração é o numerador típico para este tipo de fator em PFD, mas os denominadores são o fator elevado à primeira potência, à segunda potência e todos o caminho até o poder n .
Voltando ao nosso exemplo, o denominador comum no lado direito é ( x – 1) 2 . Escrever cada fração do lado direito sobre este denominador comum e adicionar nos dá:
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Como os denominadores do lado esquerdo e do lado direito são iguais, igualamos os numeradores:
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Deixando x = 1, que elimina A e C , nos dá B = 2. Para x = -2 (para eliminar B ), obtemos C = 3. Substituindo x = 0 (para deixar 5 sozinho à esquerda do lado esquerdo) e usando os valores de B e C nos dá A = 1.
A resposta final é:
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Fatores quadráticos elevados a uma potência
Vamos fazer mais um exemplo. Nosso último caso considera um fator quadrático elevado a uma segunda potência:
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Você já sabe como fazer isso. É o mesmo que ter um fator linear elevado à segunda potência, exceto que os numeradores têm uma letra vezes x + uma letra. Aqui está nossa estrutura:
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Como antes, igualamos os numeradores:
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Expandir o lado direito e agrupar os termos nos dá:
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Comparando cada grupo do lado direito com o lado esquerdo, obtém-se A = 1 (1 x 3 = Ax 3 ) e B = -1 (-1 x 2 = Bx 2 ). De 4 A + C = 5 (5 x = (4 A + C ) x ) e sabendo A + 1, obtemos C = 1. De 4 B + D = -6 e sabendo B = -1, obtemos D = -2.
Nossa decomposição resultante é:
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Diretrizes
Em um castelo de cartas, a estrutura é muito importante. A parte inferior deve ser maior do que a parte superior. Isso o ajudará a lembrar a primeira regra da decomposição da fração parcial: a ordem do denominador deve ser maior do que a ordem do numerador. E se não for esse o caso? A resposta é a divisão longa polinomial . Por exemplo, aqui está um caso em que o numerador e o denominador são da ordem 2. Aviso: a primeira regra de decomposição da fração parcial não é satisfeita.
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Faça uma divisão longa polinomial:
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Na divisão longa polinomial, fazemos a etapa de subtração alterando os sinais de 4 x 2 + 4 x – 8 para -4 x 2 – 4 x + 8 e adicionando isso a 4 x 2 – 1. O restante é -4 x + 7
A constante 4 mais o restante escrito sobre o divisor x 2 + x – 2 agora tem uma fração polinomial onde a decomposição da fração parcial é permitida:
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Outro guia útil prevê o número de letras desconhecidas : o número de letras desconhecidas é o mesmo que a ordem do denominador. Por exemplo, decompor um denominador de ordem 4 requer 4 letras desconhecidas.
Chega de decomposições de frações parciais. Agora podemos retornar a outro passatempo desafiador – adicionar andares a um castelo de cartas. . .
Resumo da lição
A decomposição da fração parcial permite que frações polinomiais complicadas sejam escritas como a soma de frações mais simples. Nesta lição, usamos exemplos para mostrar as regras para quatro casos de decomposições de frações parciais:
- Fatores lineares
- Fatores quadráticos
- Fatores lineares elevados a uma potência
- Fatores quadráticos elevados a uma potência