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Crescimento exponencial vs. decadência

Crescimento exponencial


Exemplo de uma função exponencial
Função exponencial

Sabemos que uma função exponencial é qualquer padrão de números que é continuamente multiplicado por algo – por exemplo 3, 6 (3 * 2), 12 (3 * 4), 24 (3 * 8). Esta é uma função exponencial porque eu começo com um número 3 e multiplico continuamente por 2. Podemos representar isso com uma equação dizendo que y = 3 * 2 x , porque o padrão começa em 3 e então é multiplicado por 2 a cada etapa de o caminho. Se você substituir em valores x começando em 0 e lembrando que 0 expoentes são iguais a 1, você descobrirá que obtemos exatamente o mesmo padrão. Este exemplo é chamado de crescimento exponencial porque os números estão crescendo exponencialmente, mas há outro tipo de função exponencial cujas entradas ficam menores em vez de ficarem maiores, o declínio exponencial.

Decaimento Exponencial

A decadência exponencial ainda segue a mesma regra de multiplicação repetida, apenas o número pelo qual multiplicamos tem que ser menor que um. O que isso acaba parecendo é algo que parece ser uma divisão repetida. Vamos dar uma olhada em um exemplo com o qual a maioria de nós pode se identificar, nosso computador se tornando inútil muito mais rápido do que esperávamos.


Função e gráfico ilustrando decaimento exponencial
Decaimento Exponencial

Digamos que você compre um bom computador novo por $ 1.600, mas depois de adquiri-lo por um ano, ele já vale apenas metade do que costumava ser. Isso faz com que valha $ 800 após 1 ano e, se esse padrão continuar, valeria $ 400 após 2 anos, $ 200 após 3 e apenas $ 100 após apenas 4 anos. O preço do seu computador está ‘decaindo’ (ou ficando menor) a cada ano por um fator de 1/2. Parece uma divisão por 2, mas lembre-se de que divisão por 2 é o mesmo que multiplicação por 1/2. Isso significa que, como seu padrão começa em 1.600 e se torna repetidamente multiplicado por 1/2, a equação de decaimento exponencial para este exemplo seria y = 1.600 * (1/2) x .

Essas funções exponenciais ficam muito pequenas e muito rápidas. Se assumirmos que esse padrão continua, seu computador valeria apenas $ 1,50 depois de dez anos! Mas é importante notar que não importa quanto tempo você mantenha seu computador, ele nunca valerá $ 0. Pode parecer que sim, e pode valer bem perto de zero, mas multiplicar por 1/2 repetidamente só pode resultar em um número realmente muito pequeno. Talvez você termine com 0,0000000000000000001, mas sempre terá aquele pequeno 1 no final. Se eu dividir isso por 2, que é menor, agora é 0,00000000000000000005. Ainda há um número lá; não importa quantas vezes eu divido por dois, ainda será um pouquinho maior do que zero. Isso significa que em nosso gráfico nossa linha vai ficar cada vez mais perto de x-eixo, mas nunca vai chegar lá. Este é um conceito matemático que surge com bastante frequência e é chamado de assíntota . Nesse caso, temos uma assíntota em y = 0 porque essa é a linha (que é basicamente o eixo x) da qual nosso gráfico ficará infinitamente próximo, mas nunca chegará totalmente.

Crescimento vs. Decadência


Gráficos de crescimento vs. decadência
Gráficos de crescimento vs. declínio

Agora que estamos familiarizados com o crescimento exponencial e decadência, é importante dar uma olhada em seus gráficos e notar uma semelhança muito óbvia. Aqui eu tenho y = 2 x , que é o crescimento porque eu multiplico repetidamente por 2, o que torna os números maiores, e aqui eu tenho y = (1/2) x , que é decadência porque tenho 1/2 sendo multiplicado repetidamente, o que torna as coisas menores. Olhando para seus gráficos, você percebe que eles são quase os mesmos, exceto que foram invertidos ou refletidos em torno do eixo y . Isso significa que o lado direito do meu gráfico de decaimento é exatamente igual ao lado esquerdo do meu gráfico de crescimento. Isso é verdade porque posso inserir valores negativos para xno meu gráfico de crescimento, e quando eu plugo, por exemplo, -1, expoentes negativos me dão frações, o que significa que eu tenho que pegar 1 e colocá-lo sobre 2 1 , e isso me dá 1/2, que é exatamente o que eu faço se eu fizer (1/2) 1 aqui na minha função de decaimento. Portanto, o ponto em +1 no gráfico de decaimento é exatamente o mesmo que o ponto em -1 no gráfico de crescimento. Isso significa que ambos têm uma assíntota em y = 0, só que o gráfico de crescimento fica infinitamente próximo de zero conforme você avança para os negativos e o gráfico de decaimento fica infinitamente próximo de zero conforme você avança para os positivos.

Determinando um valor inicial

Agora que estamos familiarizados com o crescimento exponencial e com o declínio exponencial, podemos começar a resolver exemplos mais complexos, aqueles que, por exemplo, nos pedem para determinar o valor inicial de uma função exponencial quando temos apenas duas entradas aleatórias.


Determinar o valor inicial usando uma função exponencial
Novo exemplo de função exponencial

Digamos que eu lhe disse que, depois de ter meu carro por três anos, ele valeu $ 7.168 e três anos depois caiu para $ 3.670. Se presumirmos que ele estava diminuindo na mesma porcentagem a cada ano, o que significa que é uma função de decaimento exponencial, isso significa que peguei $ 7.168 e multipliquei por algo três vezes e terminei com $ 3.670.

Posso transformar isso em uma equação simplesmente dizendo que $ 7.168 vezes b vezes b vezes b (onde b é minha base) é igual a $ 3.670. Condensar b s como b 3 me dá 7.168 b 3 = 3.670, e agora eu simplesmente tenho que desfazer tudo o que foi feito em b para descobrir qual é minha base ou fator de multiplicação.

Eu divido os dois lados por 7168, o que deixa você com b 3 = 0,5119977 … Eu desfaço uma terceira potência com uma terceira raiz e acho que b deve ser 0,79999999 …, que vamos arredondar para 0,8. Isso significa que a base do meu exponencial é 0,8.

Agora que sei disso, posso simplesmente voltar atrás para descobrir quanto deve ter custado no mesmo dia em que o comprei. Agora, em vez de multiplicar por 0,8, para voltar, vou dividir. Primeiro divido por 0,8, depois divido por 0,8 novamente, divido por 0,8 uma última vez e descobri que meu carro deve ter me custado $ 14.000 inicialmente.

Resumo da lição

  • Funções exponenciais são padrões que são continuamente multiplicados por algum número.
  • É um crescimento exponencial quando a base do nosso exponencial é maior que 1, o que significa que esses números ficam maiores.
  • É decadência exponencial quando a base de nossa exponencial está entre 1 e 0 e esses números ficam menores.
  • Uma assíntota é um valor que uma função chegará infinitamente perto, mas nunca alcançará.