Definição Convexa
Dê uma olhada nessa pizza. Observe que a pizza é um círculo e é curvada para fora em todos os lugares: esta pizza é convexa. Quando algo é considerado convexo , significa que está curvado para fora.
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No entanto, se tirássemos uma fatia de pizza, a pizza restante não seria mais convexa. Seria curvado para dentro de onde a fatia foi retirada.
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Quando uma forma ou objeto é curvado para dentro como a pizza sem a fatia, dizemos que o objeto é côncavo . Nesta lição, vamos nos concentrar em convexo e ver o que significa formas e funções serem convexas.
Formas convexas e polígonos
Ser convexo é ser curvo para fora. Essa definição torna bastante claro o que significa uma forma ser convexa. Deve ser curvado para fora em todos os lugares, assim como nossa pizza no primeiro exemplo. Formalmente, para que uma forma seja convexa, devemos ser capazes de desenhar dois pontos em qualquer lugar dentro da forma, e a linha que os conecta não pode sair da forma. Se nós pode conectar dois pontos dentro de uma forma em que a linha que liga-los vai para fora a forma, em seguida, a forma não é convexo.
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Quando uma forma é um polígono , existe outra regra para determinar se ela é convexa. Um polígono é uma forma bidimensional com linhas retas como lados. Um polígono é convexo se todos os seus ângulos internos forem menores ou iguais a 180 graus.
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Funções Convexas
Agora que estamos familiarizados com as formas convexas, vamos considerar as funções convexas. Em matemática, as funções podem ser classificadas como convexas com base em como suas inclinações se comportam. Como uma revisão, a inclinação de uma função é a rapidez com que a função está aumentando ou diminuindo: é a taxa de variação de y em relação a x .
Uma função é considerada convexa quando tem uma inclinação que está aumentando. Por exemplo, considere a função y = x ^ 2.
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Observe que a inclinação da função y = x ^ 2 está aumentando à medida que x aumenta. Portanto, a função é convexa.
Outra forma de reconhecer isso é pela concavidade da função. A concavidade de uma função também tem a ver com sua inclinação. Quando a inclinação de uma função está aumentando, dizemos que a função é côncava para cima . Quando a inclinação de uma função está diminuindo, dizemos que a função é côncava para baixo . Observe que as definições de côncavo para cima e convexo são as mesmas. Portanto, quando uma função é convexa, também podemos dizer que ela é côncava para cima.
Exemplos
1.) O quadrado é convexo? Explicar.
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Solução:
Um quadrado é convexo! Isso pode ser mostrado de duas maneiras. Observe que não podemos conectar dois pontos dentro do quadrado e que a linha que os conecta saia da forma. Como um quadrado é um polígono, devemos também observar que todos os ângulos internos do quadrado são de 90 graus e, portanto, todos menores que 180 graus.
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Portanto, um quadrado é convexo.
2.) A seguinte forma é convexa? Explicar.
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Solução:
A forma mostrada não é convexa. Observe como podemos desenhar uma linha entre dois pontos dentro da forma, e a linha que os conecta sai da forma.
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Portanto, a forma não é convexa; é côncavo.
3.) Considere a função y = – ( x + 2) ^ 2. A função é convexa?
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Solução:
Para determinar se a função é convexa, observe o que sua inclinação está fazendo. À medida que aumentamos o valor x, a inclinação sempre diminui. Sabemos que uma função convexa tem uma inclinação sempre crescente. Portanto, esta função não é convexa.
Resumo da lição
Uma forma ou objeto é considerado convexo quando é curvo para fora. Para determinar se uma forma é convexa, podemos desenhar dois pontos em algum lugar dentro da forma e ver se a linha que os conecta sai ou não da forma. Se pudermos desenhar dois pontos onde a linha que os conecta sai da forma, então a forma não é convexa, mas sim côncava. Se nossa forma for um polígono, também podemos determinar se ela é convexa observando seus ângulos internos. Se cada um de seus ângulos internos for menor ou igual a 180 graus, o polígono é convexo. As funções também podem ser classificadas como convexas quando sua inclinação é crescente.