Continuidade: OVNIs e Jatos
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Vamos conversar um minuto sobre continuidade . Ei, o que é isso? Parece um OVNI! Você já notou que os OVNIs podem estar rondando, examinando a Terra por um minuto e, de repente, no instante seguinte, eles estão na Lua ? Quer dizer, o que está acontecendo aí? Se eu der uma olhada na altitude deles em função do tempo, eles podem estar aqui verificando as plantações, e então BOOM – na Lua, ou talvez lutando contra outro OVNI no alto da atmosfera. E então, por um instante, eles deixam a Lua, voltam aqui e dizem: ‘Ei, essas safras ainda estão aqui?’ E volte para a Lua naquele mesmo instante. Eles estão pulando para todos os lados.
Agora, digamos que temos alguns jatos – os Jatos de Defesa da Terra – cujo único trabalho é rastrear esses OVNIs e descobrir para onde estão indo. Digamos que quando os OVNIs estiverem aqui, verificando nossas plantações e verificando a Terra, nossos Jatos de Defesa da Terra decolam e eles chegam à altitude dos OVNIs. Então, de repente, quando os OVNIs sobem para a Lua, os Jatos de Defesa da Terra dizem, ‘Bem, para onde vocês foram? Oh, eles estão lá em cima na Lua! ‘ Então, eles voam lentamente até a Lua (estes são jatos incríveis aqui), e então, naquele instante em que o OVNI volta para a Terra, os Jatos de Defesa da Terra ficam lá e dizem, ‘Para onde eles foram? Ah, eles estão lá embaixo. Mas no mesmo instante logo após os OVNIs aparecerem e verem que as colheitas estão lá, eles voltam para a Lua e os Jatos de Defesa da Terra dizem, ‘Ok,
Por que os Jatos de Defesa da Terra não podem seguir os OVNIs?
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Funções contínuas e descontínuas
Bem, eles não podem seguir os OVNIs exatamente porque os OVNIs seguem um caminho descontínuo . Em um instante eles estão na Terra verificando as plantações, e então BOOM, eles estão na lua. Eles realmente não precisam viajar entre os dois, eles estão apenas lá em cima. Os Jatos de Defesa da Terra não têm essa habilidade; eles não podem simplesmente desaparecer em um lugar e aparecer em outro. Eles seguem um caminho contínuo . Eles não podem voltar para baixo para seguir os OVNIs.
Vamos tornar isso um pouco mais formal e dizer que as funções contínuas – como os Jatos de Defesa da Terra – não mudam de lugar. Se você fizer um gráfico, poderá traçar toda a função com o dedo sem levantá-lo do papel. Portanto, no caso de um OVNI, você não poderia traçar todo o seu caminho sem levantar o dedo. Quando ele saltou para a Lua, se você quisesse traçar seu caminho, teria que levantar o dedo do papel e colocá-lo de volta na lua.
Vejamos alguns exemplos.
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Exemplos de funções contínuas e descontínuas
Existem polinômios, como f (x) = x ^ 4 + x ^ 3, mais assim por diante e assim por diante. Esses são caminhos contínuos; você pode rastrear toda a função, todo o f (x) sem levantar o dedo do papel.
Se olharmos para outro exemplo, como o valor absoluto de x , é a mesma coisa. Mesmo em x = 0, você pode traçar todo o caminho sem levantar o dedo do papel. Portanto, f (x) = | x | é outra função contínua.
Digamos que f (x) = round ( x ). Portanto, para valores de x = 0,4, se eu arredondar 0,4, obtenho zero. Se eu arredondar 1,2, obtenho 1. Se arredondar 3,7, obtenho 4. Bem, aqui, se representar graficamente f (x) como uma função de x , tenho que levantar meu dedo. Na verdade, eu preciso erguer meu dedo uma quantidade infinita de vezes quanto mais e mais longe eu saio. Porque toda vez que vou de 0,4999999 para 0,5, preciso levantar o dedo. Portanto, o arredondamento ( x ) é descontínuo. Não é uma função contínua.
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Vejamos f (x) = 1 / ( x – 1). Agora, se eu representar graficamente isso, na verdade tenho uma assíntota em 1. Então, quando x se aproxima de 1 de 0, digamos, f (x) vai para o infinito negativo. Bem, em algum ponto, terei que levantar meu dedo, colocá-lo de volta no infinito positivo assim que chegar ao outro lado de 1 (apenas maior que 1), e posso rastrear o resto da função. Então, novamente, isso é descontínuo porque eu tenho que levantar meu dedo do papel.
Resumo da lição
Vamos revisar. Continuidade . Agora, uma função é contínua se você puder traçar a função inteira em um gráfico sem pegar o dedo. Isso é como os Jatos de Defesa da Terra; se você rastrear sua altitude em função do tempo, nunca terá que levantar o dedo da folha de papel. Se, por outro lado, você rastreou a altitude do OVNI como uma função do tempo, você pode ter que levantar o dedo em vários pontos no tempo, quando o OVNI está pulando de nossas plantações para a Lua, de nossas plantações para Marte; quando eles dão aquele salto instantâneo, é uma descontinuidade e você tem que levantar o dedo do papel.