Dividindo igualmente
Conheça Maddie e Emma. Eles são gêmeos. Tudo que Maddie consegue, Emma precisa conseguir também, e vice-versa. Quando Maddie comprou uma bicicleta, Emma também. Quando Emma começou a jogar futebol, Maddie também. Quando Maddie teve aparelho ortodôntico, bem, Emma estava bem em deixar Maddie ter esse aparelho.
Os pais de Maddie e Emma estão acostumados a dividir tudo igualmente. Essa é uma daquelas habilidades que também são úteis em geometria. Considere este triângulo que Maddie tem.
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É tão bom. Possui um A , B e C em seus cantos. Cada canto tem até um nome chique: vértice (ou vértices para mais de um).
Emma também quer um. Mas esse é o último triângulo. Ah não! Teremos de dividir igualmente.
Medianas
Vamos desenhar uma linha de A até o meio do lado oposto, BC . Chamamos isso de mediana e podemos defini-la como uma linha traçada do vértice de um triângulo até o ponto médio do lado oposto.
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Quando fazemos isso, o que acontece com BC ? Uma vez que este novo ponto, F , é o ponto médio, fizemos dois segmentos de linha iguais. BF = FC . O ponto médio é apenas o ponto no meio. Faz sentido, certo?
E agora temos dois triângulos: um para Maddie e outro para Emma. A paz foi restaurada.
Mas espere, agora quatro de seus amigos aparecem. Você sabe como as crianças são com seus triângulos. Todo mundo quer um. Felizmente, os triângulos gostam de coisas em três – três lados, três ângulos, três vértices e, sim, três medianas.
Vamos adicionar uma mediana de B a AC e chamá-la de BE . Então vamos adicionar uma mediana de C a AB e chamá-la de CD . E veja o que temos.
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Agora temos seis triângulos. Eles são menores, com certeza, mas novamente temos uma paz momentânea.
Centroid
Enquanto todos estão contentes com seus triângulos, vamos ver o que aconteceu. Nossas três medianas, AF , BE e CD, todas atingem os pontos médios dos lados do triângulo. Isso é o que os torna medianos. Portanto, além de BF igualando FC , AD = DB e AE = EC .
Mas o que mais? Observe que todos eles se encontram em um ponto dentro do círculo, G . Não importa a aparência do nosso triângulo. Em qualquer triângulo, as três medianas se encontram em um ponto.
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Chamamos esse ponto de centróide . Isso é oficialmente definido como o centro de massa de um polígono bidimensional.
A palavra centróide me lembra android. Imagine um androide triangular e bidimensional. Hmm, não é muito bom para explodir Estrelas da Morte ou salvar Sigourney Weaver de alienígenas. Mas o andróide Centroid tem um truque legal.
Se você desenhar três medianas sobre ele, elas se encontram em um ponto: o centróide do centróide.
Se pegarmos o Centroid e equilibrá-lo em uma vara, com a vara bem no centroide, ele se equilibrará perfeitamente. Isso é o que o centro de massa é.
Triângulos iguais
Ok, acho que esgotamos nossa boa vontade com Emma, Maddie e seus amigos. Eles estão discutindo agora sobre suas seis peças triangulares. Eles acham que todos têm tamanhos diferentes.
Mas isso é o legal das medianas. Vamos voltar ao nosso triângulo original. Lembra como traçamos a linha AF , nossa primeira mediana? Isso nos deu dois triângulos, ABF e ACF .
Esses triângulos têm a mesma área. Por quê? Porque a mediana atinge o BC exatamente em seu meio, dividindo-o em duas partes iguais. Portanto, as áreas dos triângulos recém-criados são iguais.
Agora vamos adicionar novamente as medianas BE e CD . Todos esses triângulos parecem diferentes. Mas todos eles têm a mesma área. ADG = AGE = EGC = CGF = BGF = BGD . Ninguém tem um triângulo maior do que qualquer outra pessoa.
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Assim como com nosso centróide, nossas áreas de triângulo permanecem em harmonia, não importa como modificamos nosso triângulo. Enquanto as linhas de cada vértice atingirem o ponto médio do lado oposto a eles, formando medianas, sempre criaremos triângulos iguais.
Resumo da lição
Em resumo, aprendemos que uma mediana é um segmento de linha desenhado do vértice, ou canto, de um triângulo até o ponto médio do lado oposto.
Cada triângulo possui três medianas. Eles sempre se encontram em um único ponto, que chamamos de centróide. O centróide é o centro de massa do triângulo.
Finalmente, examinamos a área de nossos triângulos. Uma única mediana nos dá dois triângulos com áreas iguais. Quando temos três medianas, obtemos seis triângulos; todos esses triângulos têm a mesma área.
Seis crianças, seis triângulos, vamos aproveitar este momento.
Resultados de Aprendizagem
No final desta vídeo-aula, você poderá:
- Ilustrar um segmento de linha mediana
- Lembre-se do número de medianas em um triângulo
- Encontre o centróide de um triângulo