Definição de um conjunto universal
Um conjunto universal não precisa ser o conjunto de tudo o que se sabe ou se pensa que existe – como os planetas, a vida extraterrestre e as galáxias – mesmo que isso fosse um exemplo de um conjunto universal. Um conjunto universal são todos os elementos, ou membros, de qualquer grupo sob consideração.
Por exemplo, todas as estrelas da Via Láctea poderiam ser um conjunto universal se estivermos discutindo todas as estrelas da Via Láctea. Este tipo de conjunto universal pode ser apropriado para astrônomos, mas ainda é um conjunto muito grande de objetos a serem considerados.
Um conjunto universal típico em matemática é o conjunto de números naturais conforme mostrado abaixo: N = {1, 2, 3, 4, …}.
Letras maiúsculas em negrito às vezes são usadas para identificar certos conjuntos de números, como N para números naturais. Normalmente usamos colchetes para encerrar um conjunto. A marca de reticências (…) nos diz que o conjunto de números naturais continua sem fim; portanto, este conjunto universal também é um conjunto infinito. No entanto, os conjuntos universais também podem ser conjuntos finitos.
Vejamos um exemplo de um conjunto universal que é finito. O conjunto de todos os presidentes dos Estados Unidos é um exemplo de conjunto universal finito. Esse conjunto pode aumentar a cada quatro anos, mas, a qualquer momento, é um conjunto universal finito se estivermos discutindo todos os homens que foram presidentes dos Estados Unidos.
Símbolos em conjuntos universais
Os conjuntos geralmente são nomeados com uma letra maiúscula. Portanto, o conjunto universal é geralmente nomeado com a letra maiúscula L . Esta será a notação usada nesta lição.
Às vezes, a notação alternativa pode ser usada para um conjunto universal, como o exemplo do conjunto de números naturais mostrado acima. O conjunto de números naturais não é necessariamente um conjunto universal. O fato de um conjunto ser um conjunto universal é baseado na estrutura de um problema ou na situação sob exame. Mas o ponto aqui é que a notação alternativa pode ser usada para nomear um conjunto universal, desde que seja prática e clara para o observador.
Subconjuntos de conjuntos universais
Se todos os elementos do conjunto Um são também elementos do conjunto B , então A é um subconjunto de B . Isso significa que os subconjuntos podem ser criados a partir de qualquer conjunto universal definido. Devemos primeiro reconhecer que qualquer conjunto universal é um subconjunto de si mesmo. No entanto, um subconjunto geralmente tem menos elementos do que o conjunto universal a partir do qual é criado.
Vamos voltar ao conjunto dos números naturais. Suponha que desejamos listar todos os números naturais que satisfazem a equação 20 < x <25. Este subconjunto é mostrado a seguir: {21, 22, 23, 24}.
O próprio conjunto de números naturais é um subconjunto do conjunto de números reais, que poderia ser outro exemplo de conjunto universal. Novamente, o que é ou não um conjunto universal é baseado no contexto de um problema.
A seguir, voltemos ao conjunto universal que criamos para os presidentes dos Estados Unidos: U = o conjunto dos presidentes dos Estados Unidos. Queremos criar um subconjunto de U .
Criaremos um subconjunto de todos os presidentes dos Estados Unidos que morreram no cargo. Vamos chamar esse conjunto de A , que é definido a seguir: A = {Harrison, Taylor, Lincoln, Garfield, McKinley, Harding, F. Roosevelt, Kennedy}.
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O interior da forma retangular representa o conjunto universal. Em outras palavras, todos os elementos, ou membros, de U são representados pela área dentro do retângulo. O subconjunto A é representado pelo círculo. Claro, a área total do círculo precisa estar dentro da área do retângulo.
Vamos mostrar mais um exemplo de um conjunto universal e um subconjunto de um conjunto universal usando um tópico em matemática. Isso nos dará a chance de mostrar a notação adicional usada em conjuntos. Nosso conjunto universal será composto por todos os números ímpares positivos menores que 100: U = {1, 3, 5, 7, … 99}.
A notação acima mostra que o padrão de números ímpares positivos consecutivos continuará até o número 99. Nosso subconjunto será todos os números primos que são elementos deste conjunto universal, e o chamaremos de conjunto B : B = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}.
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Essa notação pode ser lida como o conjunto de todos os números x que são elementos do conjunto universal, de modo que x é um número primo. O símbolo E curvo afirma que x é um elemento de U , e a linha vertical (|) é entendida como significando ‘tal que’.
Resumo da lição
Um conjunto universal é o conjunto de todos os elementos, ou membros, de um grupo sob consideração. Este grupo geralmente é relevante para uma situação particular, como um problema matemático ou algum ponto de discussão. A criação de conjuntos universais é útil ao discutir um problema específico que diz respeito a apenas um determinado conjunto de membros, como a turma do último ano de uma escola. Finalmente, conjuntos adicionais, chamados de subconjuntos, podem ser criados a partir de um conjunto universal.
Resultado de aprendizagem
Ao final desta lição, você será capaz de definir, interpretar e criar um conjunto universal e um subconjunto relacionado.