Conceito Conjugado
O termo conjugado significa um par de coisas unidas. Essas duas coisas são exatamente iguais, exceto por um par de recursos que são opostos um do outro. Se você olhar para esses rostos, perceberá que eles são iguais, exceto que têm expressões faciais opostas: um está sorrindo e o outro está carrancudo.
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O que é um conjugado matemático?
Um conjugado matemático é formado pela mudança do sinal entre dois termos em um binômio. Por exemplo, o conjugado de x + y é x - y . Também podemos dizer que x + y é um conjugado de x - y . Em outras palavras, os dois binômios são conjugados um do outro. Em vez de sorrir e franzir a testa, os conjugados matemáticos têm um sinal positivo e um sinal negativo, respectivamente.
Vamos considerar um exemplo simples. O conjugado de 5 x + 9 é 5 x - 9.
Diferença de quadrados
Vamos agora pegar os conjugados de x + 4 e x - 4 e multiplicá-los da seguinte forma:
( x + 4) ( x - 4) = x ^ 2 - 4 x + 4 x - 16 = x ^ 2 - 16
Observe que dois termos, -4 x e 4 x , se cancelam durante o processo de simplificação. Ficamos com uma diferença de dois quadrados. Na verdade, a forma fatorada de uma diferença de dois quadrados é sempre um par de conjugados. Este conceito é geralmente mostrado em livros de álgebra como a equação na Figura 1.
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Conjugados com radicais
Talvez a função mais útil de um conjugado seja como ferramenta para simplificar expressões com radicais ou raízes quadradas. Vamos primeiro multiplicar os conjugados mostrados na Figura 2
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Multiplicando os conjugados na Figura 2, podemos eliminar as expressões radicais. Na verdade, nossa solução é uma expressão racional, neste caso um número natural. Geralmente é mais fácil trabalhar com números racionais em vez de números irracionais.
Não podemos simplesmente mudar o valor das expressões para que possamos nos livrar dos radicais. Deve haver alguma razão lógica ou prática. Por exemplo, multiplicar uma expressão pelo seu conjugado é muito útil para simplificar certas frações.
Vamos considerar a fração na Figura 3. Essa fração não é simplificada porque há um radical no denominador. Um radical no numerador está certo, mas não no denominador. Precisamos nos livrar da raiz quadrada de 7 do denominador. Uma razão para esta regra é que as frações são geralmente mais fáceis de somar e subtrair quando o denominador é um número racional.
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Agora sabemos que podemos multiplicar o denominador pelo seu conjugado para nos livrar da raiz quadrada de 7; no entanto, isso mudaria o valor da fração. Mas também devemos saber que, quando multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número ou expressão, terminamos com uma fração equivalente à fração original. Por exemplo, vamos começar com a fração de 1/2. Em seguida, multiplique o numerador e denominador por 3:
(1 x 3) / (2 x 3) = 3/6.
Acabamos com uma fração equivalente a 1/2. Portanto, em nosso problema na Figura 3, devemos também multiplicar o numerador pelo conjugado do denominador, conforme mostrado na Figura 4.
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Se completarmos a multiplicação e subsequente simplificação, nossa solução será conforme mostrado na Figura 5. Não há mais um radical no denominador, e é isso que queremos.
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Avistamentos de Conjugados Matemáticos
Conjugados matemáticos aparecerão em vários tópicos de álgebra. Vejamos a fórmula quadrática.
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O numerador da fórmula quadrática é um par de conjugados. Às vezes, esses são conjugados complexos, mas isso está saindo do foco desta lição.
Também podemos ver conjugados na trigonometria; por exemplo, o conjugado de 1 - cos x é 1 + cos x . Usar conjugados em trigonometria é benéfico quando você precisa avaliar e simplificar identidades trigonométricas. Novamente, isso está saindo do foco desta lição, mas conhecer o conceito de conjugados matemáticos pode ser útil ao aprender novos tópicos.
Resumo da lição
Vamos revisar:
Conjugados matemáticos são um conceito simples, mas são valiosos ao simplificar alguns tipos de frações. Um par de conjugados é um par de binômios que são exatamente iguais, exceto que os sinais entre os termos são opostos. Para criar um conjugado de um binômio, basta reescrever e alterar o sinal do segundo termo.