Conjugados complexos
Provavelmente, você está familiarizado com o que é um número complexo. Um número complexo é um número na forma de uma + bi , onde um e b são números reais, e i é o número imaginário √ (-1). Chamamos a parte real do número complexo, e nós chamamos bi a parte imaginária do número complexo. No entanto, existem pequenos números mágicos legais com os quais cada número complexo, a + bi , está intimamente relacionado. Eles são chamados de conjugado complexo de um número complexo.
O conjugado complexo do número complexo, a + bi , é a – bi .
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Espere um segundo! Isso parece muito simples! É possível que tudo o que tenhamos de fazer para encontrar o conjugado complexo de um número complexo seja mudar o sinal de sua parte imaginária? Sim, é só isso!
Por exemplo, considere o número complexo 1 + 8 i . Para encontrar o conjugado complexo, simplesmente mudamos o sinal da parte imaginária para obter 1 – 8 i . Em suma, para encontrar o conjugado complexo de um número complexo, fazemos o seguinte:
- Identifique as partes reais e imaginárias do número complexo a + bi .
- Deixe a parte real de lado e mude o sinal da parte imaginária.
Então, se é tão fácil, por que descrevemos os conjugados complexos como pequenos números mágicos organizados? Vamos explorar!
Propriedade de multiplicação de conjugados complexos
Considere nossos conjugados complexos que acabamos de encontrar, 1 + 8 i e 1 – 8 i . Vamos ver o que acontece quando multiplicamos esses dois números.
| (1 + 8 i ) (1 – 8 i ) | Multiplique usando FOIL |
| 1 – 8 i + 8 i – 64 i 2 | 8 i e -8 i cancelar |
| 1 – 64 i 2 | i 2 = √ (-1) ⋅ √ (-1) = -1 |
| 1 – 64 (-1) | Simplificar |
| 1 + 64 = 65 | Então (1 + 8 i ) (1 – 8 i ) = 65 |
Você notou algo interessante sobre isso? Se você está percebendo que a multiplicação desses dois conjugados complexos resulta em um número real – ótima observação! Quando multiplicamos os conjugados complexos 1 + 8 i e 1 – 8 i , o resultado é um número real, ou seja, 65. Isso não é uma coincidência, e é por isso que os conjugados complexos são tão perfeitos e mágicos!
Veja, em geral, se multiplicarmos dois conjugados complexos, a + bi e a – bi , sempre obteremos um número real. Além disso, esse número real será sempre a 2 + b 2 !
- ( a + bi ) ( a – bi ) = a 2 + b 2
Oh, uau! Isso tornará a multiplicação de conjugados complexos muito mais fácil! Considere nosso exemplo de multiplicação de 1 + 8 i e 1 – 8 i . Em vez de termos que FALAR tudo, podemos simplesmente usar nossa fórmula! Nesse caso, a = 1 e b = 8, então temos o seguinte:
- (1 + 8 i ) (1 – 8 i ) = 1 2 + 8 2 = 1 + 64 = 65
Mesma resposta, mas o processo é muito mais fácil! Depois de ver isso, provavelmente podemos concordar que os conjugados complexos merecem a descrição de serem puros e mágicos. Vamos considerar mais alguns exemplos.
Exemplos
Imagine que você está em uma sala de aula e seu professor de matemática escreve os dois problemas a seguir no quadro para você apresentar e resolver.
- Qual é o conjugado complexo de cada um dos seguintes números complexos? 2 + 3 i , 7 i e 5 – i ?
- Qual é o produto de 4 – 3 i e seu conjugado complexo?
Nós temos isso! Vamos subir ao quadro e mostrar o que aprendemos!
Primeiro, queremos encontrar os conjugados complexos de 2 + 3 i , 7 i e 5 – i . Para encontrar o conjugado complexo, sabemos que só precisamos deixar a parte real do número sozinha e mudar o sinal da parte imaginária.
- Em 2 + 3 i , 2 é a parte real e 3 i é a parte imaginária, então mudamos o sinal de 3 i para obter 2 – 3 i .
- Em 7 i , pode ser útil reescrever como 0 + 7 i . Isso torna mais fácil ver que a parte real é 0 e a parte imaginária é 7 i , então apenas mudamos o sinal de 7 i para obter 0 – 7 i ou -7 i .
- Em 5 – i , 5 é a parte real e – i é a parte imaginária, então mudamos o sinal de – i para obter 5 + i .
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Mole-mole! Para o próximo!
Para o problema 2, precisamos encontrar qual seria o produto de 4 – 3 i e seu conjugado complexo, ou precisamos calcular (4 – 3 i ) (4 + 3 i ). Nós realmente não precisa encontrar o conjugado complexo, porque os nossos estados de fórmula que ( a + bi ) ( a – bi ) = a 2 + b 2 , então tudo o que precisamos fazer é identificar um e b , o que podemos fazer de 4 a 3 i , e depois conecte-os à fórmula. Nesse caso, temos que a = 4 e b = -3. Conectando-os à fórmula dá
- a 2 + b 2 = 4 2 + (-3) 2 = 16 + 9 = 25
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Hmmm … definitivamente legal e mágico!
Resumo da lição
Um número complexo é um número na forma de uma + bi , onde um e b são números reais, e i é o número imaginário √ (-1). O conjugado complexo de um número complexo, a + bi é a – bi . Tudo o que precisamos fazer para encontrar o conjugado complexo de um número complexo é mudar o sinal da parte imaginária do número complexo.
Conjugados complexos são números realmente legais por causa de como eles funcionam juntos. Por exemplo, quando multiplicamos dois conjugados complexos, obtemos um número real. Isso é,
- ( a + bi ) ( a – bi ) = a 2 + b 2
São observações como esta que tornam os conjugados complexos tão interessantes e úteis na matemática! Continue explorando e você encontrará outras maneiras interessantes de se comportar esses conjugados complexos!