O que é um conjugado?
Antes de definirmos conjugados complexos e exemplos completos, você primeiro precisa entender conjugados e números complexos. Em matemática, um conjugado é formado pela mudança do sinal entre dois termos em um binômio. Por exemplo, o conjugado do binômio x - y é x + y . Esses dois binômios são conjugados um do outro.
Número complexo
Um número complexo é um número que possui uma parte real e uma parte imaginária. Os números reais contêm todos os números racionais (por exemplo, os números inteiros 0 e 7, o inteiro -5 e a fração 2/3) e todos os números irracionais (por exemplo, pi e raiz quadrada de 3). A raiz quadrada de um número negativo não existe no sistema de números reais. Portanto, os matemáticos expandiram os sistemas de números e criaram a unidade imaginária i , que é definida como a raiz quadrada de -1. Isso nos permite escrever a raiz quadrada de qualquer número negativo e resolver problemas que precisam da raiz quadrada de um número negativo. Observe que se elevarmos ao quadrado a unidade imaginária, obteremos -1. Em outras palavras, i ^ 2 = -1.
A forma padrão de um número complexo é um + bi , onde um e b são números reais. A letra a representa a parte real do número complexo, e o termo bi representa a parte imaginária do número complexo. Aqui está um exemplo de um número complexo: 8 + 3 i . 8 é a parte real do número e 3 i é a parte imaginária.
Definição de Conjugado Complexo
Agora vamos combinar as definições acima. Um conjugado complexo é formado pela mudança do sinal entre dois termos em um número complexo. Vejamos um exemplo: 4 - 7 i e 4 + 7 i . Esses números complexos são um par de conjugados complexos. A parte real (o número 4) em cada número complexo é a mesma, mas as partes imaginárias (7 i ) têm sinais opostos.
Produtos de Conjugados Complexos
Vamos multiplicar e simplificar o seguinte par de conjugados complexos:
(3 - 5 i ) (3 + 5 i )
Use o método FOIL (que significa primeiro, externo, interno, último) para obter 9 + 15 i - 15i - 25 i ^ 2
Combine termos semelhantes para obter 9 - 25 i ^ 2
Substitua -1 por i ^ 2 para obter 9 - 25 (-1)
Simplifique para obter 9 + 25 = 34
Observe que os termos 15 i e -15 i se cancelam e que i ^ 2 é alterado para -1. Portanto, eliminamos as partes imaginárias do par original de conjugados complexos e ficamos com um número real; neste caso, um número inteiro. Isso sempre acontecerá quando multiplicamos um par de conjugados complexos. O produto de um par de conjugados complexos é sempre um número real.
Dividindo Números Complexos
Conjugados complexos podem ser uma ferramenta útil ao simplificar expressões com números complexos. Por exemplo, multiplicar um número complexo por seu conjugado é muito útil para simplificar certas frações.
Vamos considerar a seguinte fração: (3 - 4 i ) / (1 + i )
Esta fração não é simplificada porque existe uma parte imaginária no denominador. Uma parte imaginária no numerador está certa, mas não no denominador. Precisamos nos livrar do i no denominador. Uma razão para esta regra é que as frações são geralmente mais fáceis de somar e subtrair quando o denominador não é um número complexo.
Agora sabemos que podemos multiplicar o denominador pelo seu conjugado para nos livrar do i . No entanto, isso mudaria o valor da fração. Mas também devemos saber que, quando você multiplica o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número ou expressão, terminamos com uma fração equivalente à fração original. Por exemplo, vamos começar com a fração de 1/2. Em seguida, multiplique o numerador e o denominador por 3: (1 x 3) / (2 x 3) = 3/6. Acabamos com uma fração equivalente a 1/2.
Portanto, em nosso problema original, devemos também multiplicar o numerador pelo conjugado do denominador.
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Depois de completar a multiplicação e combinar termos semelhantes, vamos terminar com esta expressão:
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Agora podemos substituir i ^ 2 por -1 e simplificar:
(3 - 7 i + 4 (-1)) / (1 - (-1)) = (3 - 7 i - 4) / (1 + 1) = (-1 - 7 i ) / 2
Não há mais partes imaginárias no denominador, e é isso que queremos. (Observação: certifique-se de estar atento a negativos duplos ao simplificar.)
Conjugados complexos como soluções para funções quadráticas
Você deve se lembrar de suas aulas de álgebra que uma equação quadrática às vezes não cruza o eixo x . Quando isso acontece, as soluções da equação quadrática são números complexos. Normalmente, você calcula esses tipos de soluções usando a fórmula quadrática. Bem, as soluções complexas de uma função quadrática que tem números reais como coeficientes sempre ocorrem em pares conjugados complexos.
Por exemplo, se você for informado de que uma função quadrática com números reais como coeficientes tem uma solução de -2 + i , então -2 - i também deve ser uma solução. Vamos completar um exemplo: Uma equação quadrática com números reais como coeficientes tem 5 - 2 i como solução. Escreva a equação quadrática na forma padrão.
Se 5 - 2 i é uma solução da equação quadrática, então 5 + 2 i deve ser a outra solução. Agora podemos escrever a equação na forma de interceptação ou fatorada: y = ( x - (5 - 2 i )) ( x - (5 + 2 i ))
Precisamos nos livrar dos parênteses internos em cada fator e obter y = ( x - 5 + 2 i ) ( x - 5 - 2 i )
Se completarmos a multiplicação, obtemos o seguinte y = x ^ 2 - 5 x - 2 xi - 5 x + 25 + 10 i + 2 xi - 10 i - 4 i ^ 2
Em seguida, altere i ^ 2 para -1 para que -4 i ^ 2 se torne -4 (-1) e seja igual a +4: y = x ^ 2 - 5 x - 2 xi - 5 x + 25 + 10 i + 2 xi - 10 i + 4
Agora podemos combinar termos semelhantes (alguns termos se cancelam) e obter a seguinte equação quadrática: y = x ^ 2 -10 x + 29.
Resumo da lição
Conjugados complexos são um conceito simples, mas são valiosos ao simplificar alguns tipos de frações. Um par de conjugados complexos é formado pela mudança do sinal entre dois termos em um número complexo. Para criar um conjugado de um número complexo, basta reescrever e mudar o sinal da parte imaginária
Algumas outras coisas a serem lembradas incluem:
- Um número complexo é um número que possui uma parte imaginária.
- O produto de um par de conjugados complexos é sempre um número real.
- Uma parte imaginária no numerador de uma fração está bem, mas não no denominador.
- As soluções complexas de uma função quadrática que tem números reais como coeficientes sempre ocorrem em pares conjugados complexos.