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Concavidade e pontos de inflexão nos gráficos

Compreendendo a Concavidade


A rampa à direita tem uma derivada crescente
compreensão da concavidade

Outro dia eu estava pensando sobre o seguinte: quero muito uma rampa de skate. Então perguntei a um amigo meu: ‘Você pode construir uma rampa de skate para mim? Um que tem, talvez, 3 metros de altura e 3 metros de comprimento? ‘ Ele voltou para mim com isso. Uma rampa bonita e plana com 3 metros de altura e 3 metros de comprimento. Foi muito divertido, mas não é uma rampa de skate. Então eu disse: ‘Ei, cara. Tente novamente.’ Ele voltou com esta rampa. Também tem 3 metros de altura e 3 metros de largura, mas não é exatamente o que eu queria. Quando experimentei, digamos, terminei o dia no hospital. Então o que aconteceu aqui? Por que ele me deu uma rampa que se encaixa em tudo o que eu perguntei, mas não é o que eu queria. Eu não desenhei, mas talvez haja uma maneira melhor.

Como posso dizer que quero uma rampa com uma inclinação assim? Vamos comparar as duas rampas que ele fez e a rampa que eu queria. Se eu os representar graficamente, sua altura em função da distância, terei a rampa chata e plana; Eu tenho a péssima rampa mande-me-ao-hospital; e tenho a rampa que realmente queria. Agora, tudo isso está aumentando. Eles têm todos 3 metros de comprimento e 3 metros de altura. Qual é a diferença entre essas rampas? Bem, os derivados são diferentes. Esta rampa chata e plana tem uma derivada constante em cada valor de x, então cada lugar ao longo da largura da rampa tem a mesma derivada. A rampa mande-me-para-o-hospital, se eu representar graficamente a derivada, está diminuindo assim conforme eu subo a rampa. A rampa que eu realmente quero tem uma derivada crescente conforme eu subo a rampa, não uma derivada decrescente. Em matemática, chamamos isso de concavidade, como uma derivada está mudando. No caso da rampa que eu quero, a derivada está ficando maior. A rampa é o que chamamos de côncava para cima. É uma ‘xícara’. Você pode ver isso aqui. Se a derivada está ficando menor, como no caso da rampa que me mandou para o hospital aqui, então tenho algo côncavo para baixo. Vou chamar isso de ‘carranca’. Ele está me mandando para o hospital, e parece uma carranca. Então, temos nossa carranca e nossa xícara, o côncavo para baixo e o côncavo para cima.


Quando algo é côncavo, a segunda derivada é sempre positiva
Gráfico côncavo para cima

Côncavo para cima e côncavo para baixo

Vamos dar uma derivada mais próxima no caso em que temos uma linha côncava para cima. Esta é a xícara. Imagine que estou sentado aqui e prestes a descer a rampa. Você pode ver que isso se parece muito com uma xícara quando olha a seção transversal. Aqui eu tenho a altura em função da distância. Se eu der uma olhada na derivada da altura em função da distância, vejo que às vezes é negativa, às vezes é positiva. É negativo quando estou descendo e é positivo quando estou subindo do outro lado da rampa. Se eu pegar a segunda derivada – então, se eu pegar a derivada da primeira derivada– isso é sempre positivo. Esta linha – a derivada aqui – está sempre apontando para cima, então a segunda derivada sempre será positiva em um caso onde temos algo que é côncavo para cima. Para algo que é côncavo para baixo, bem, essa é a nossa carranca. Veja, estou sentado no topo desta rampa. Você pode ver que estou prestes a cair de um lado ou do outro, certo? Então, isso é uma grande carranca. Isso é côncavo para baixo. Aqui, conforme você se move da esquerda para a direita, a derivada é, a princípio, positiva e depois se torna negativa. Portanto, a derivada está diminuindo. Se você olhar para a segunda derivada, a segunda derivada é sempre negativa. Portanto, se você tiver um caso em que a segunda derivada é negativa, você pode estar olhando para algo que é côncavo para baixo ou uma carranca.

Exemplos de côncavo para cima e côncavo para baixo


Este gráfico tem partes côncavas para cima e côncavas para baixo
Gráfico côncavo para cima e para baixo

Vejamos outro exemplo. Digamos que você tenha um gráfico como este. Posso me imaginar em esquis descendo esta colina e depois pulando. É este o caso em que temos algo que é côncavo para baixo, uma carranca, ou temos côncavo para cima, algum tipo de xícara? Neste gráfico específico, temos os dois. Perto do topo da colina, isso parece uma carranca. No sopé da colina, esta é definitivamente uma xícara. Então o que isso quer dizer? Se representarmos graficamente a derivada, a derivada será negativa ao longo desta primeira parte porque a inclinação da tangente está sempre apontando para baixo até o final aqui quando está apontando para cima. Mas a derivada vai realmente diminuir onde temos essa carranca e aumentar onde temos essa xícara. Portanto, temos ambos. Nós’ temos um lugar onde a segunda derivada vai ser negativa – esta carranca aqui – e um lugar onde a segunda derivada é positiva. Isso está aqui, na xícara.

Eu tenho um ponto onde a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada, é zero. Então a segunda derivada é zero entre a região que é côncava para baixo, minha carranca, e a região que é côncava para cima, a xícara. Vou chamar isso de ponto de inflexão. Esse é o ponto onde você vai entre uma xícara côncava para cima e uma carranca côncava para baixo. Então você tem xícara, carranca, xícara, carranca, xícara, carranca. Entre cada um deles está um ponto de inflexão. Nesse ponto, a segunda derivada é igual a zero. Vamos tirar um exemplo realmente complicado. Aqui temos carrancas e xícaras por todo lado. Eu tenho uma carranca e uma xícara e uma carranca e uma xícara e uma carranca e uma xícara. Vamos codificar por cores onde temos as sobrancelhas e os copos. Entre as sobrancelhas e as xícaras, vou marcar um ponto onde a segunda derivada é igual a zero. Então, esses são todos esses pontos aqui. Também vou marcar onde a primeira derivada é igual a zero. Sabemos que a primeira derivada é igual a zero em lugares que podem ou não ser mínimos ou máximos. Aqui eu tenho um valor mínimo, e aqui eu tenho um valor máximo, mas também há esses pontos no meio onde a primeira derivada é igual a zero e a segunda derivada é igual a zero. Este não é um máximo ou mínimo, mas é um ponto de inflexão.


A seta está apontando para um ponto de inflexão
Gráfico de pontos de inflexão

Resumo da lição

Vamos revisar. Concavidade , também conhecida como: Erin vai acabar no hospital depois do incidente no skate ou vai acabar nas Olimpíadas? Temos linhas côncavas para cima, como uma xícara, e esse é o tipo de linha que vai me mandar para as Olimpíadas. Temos linhas que são côncavas; essas são carrancas. Isso vai me mandar para o hospital. Entre uma região côncava para cima de uma linha e uma região côncava para baixo de uma linha – então, entre uma xícara e uma carranca – temos o que é conhecido como pontos de inflexão . É aí que a segunda derivada da função é igual a zero.