Círculos
Se você é como eu, pensa freqüentemente em pizza. E com pizza, há muito a considerar. Crosta fina ou prato fundo. Pepperoni ou vegetais. Flocos de pimenta vermelha espalhados por cima ou uma quantidade ridícula de flocos de pimenta vermelha derramada por cima. Mmm, saboroso e ardente.
Agora, a maioria das pizzas são círculos. E os círculos são geometria. Então, por que não contemplar a geometria enquanto come pizza? Ainda não é saudável para o seu corpo, mas pelo menos pode ser bom para o seu cérebro!
O que é um setor?
Essa fatia de pizza? Isso é chamado de setor. Um setor é uma parte de um círculo delimitado por dois raios e o arco de conexão. Você pode ter um setor de fatias de pizza normal ou um setor de fatias de pizza gigantesco. A chave é que ele toca o centro do círculo e é limitado pelas duas linhas de raio.
Todos os setores têm um ângulo central. Este é o ângulo que o setor subtende ao centro do círculo. Sabemos que há 360 graus em um círculo, então o ângulo central será alguma subseção disso. Nesta fatia, está 45 graus:
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Neste, é 90:
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Esse é um setor especial conhecido como quadrante. Pegue? ‘Quad-‘ significa 4, e este é um quarto do círculo. Em nossa meia fatia de pizza abaixo, está 180 graus. Esse é um setor especial chamado semicírculo.
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Também podemos olhar em radianos em vez de graus. Um radiano é apenas uma maneira diferente de medir um ângulo. Um radiano é o que você obtém quando pega o raio do círculo e o posiciona na circunferência.
Área do Setor – Ângulo Central
Digamos que você tenha sua fatia de pizza de tamanho normal e queira saber sua área. A área de um setor pode ser encontrada de duas maneiras diferentes, dependendo do que você sabe. Você sempre precisará saber o raio. Lembre-se, o raio é a metade do diâmetro. Portanto, em uma pizza de 12 polegadas, o raio é de 6 polegadas.
Se quisermos a área de todo o círculo, é π * r 2 . Para o semicírculo? 1/2 * π * r 2 , pois é a metade do círculo. O princípio da área de um setor segue essa mesma lógica. Simplesmente pegamos a fórmula da área do círculo e a multiplicamos por uma fração que representa nosso setor.
Se você conhece o ângulo central, a área é ( n / 360) * π * r 2 , onde n é o número de graus no ângulo central. Então, digamos que nosso setor tenha um ângulo de 23 graus. Vamos inserir isso na fórmula para nossa fatia com um raio de 6 polegadas. Sua área é (23/360) * π * 6 2 . Isso é 7,2 polegadas quadradas.
Se conhecermos o ângulo em radianos, é ainda mais simples. Segue a mesma lógica. Começamos com π * r 2 . Um círculo tem um ângulo total de 2 * π. Portanto, se chamarmos nosso ângulo de theta, o equivalente de n / 360 será (theta) / (2 * π). Conecte isso à mesma fórmula: ((theta) / (2 * π)) * π * r 2 . Isso simplifica para ((theta) / 2) * r 2 . Portanto, se o nosso ângulo for 0,4 radianos, teremos (0,4 / 2) * 6 2 . Novamente, temos 7,2 polegadas ao quadrado.
Comprimento do arco
Isso funciona se conhecermos o ângulo central. Mas e se não o fizermos? Em seguida, precisamos saber o comprimento do arco. O comprimento do arco é a distância ao longo do arco ou circunferência do círculo. Escrevemos isso como lAB.
Se você precisar encontrar a área de um setor usando o comprimento do arco, essa distância será fornecida a você. Mas saiba que você pode descobrir se tiver o ângulo central. Apenas pegamos a fórmula da circunferência (2 * π * r ) e multiplicamos por n / 360, então é 2 * π * r * ( n / 360). Isso parece familiar, não é? É o mesmo que a fórmula da área de um setor, apenas trocando a circunferência pela área.
Em radianos, é ainda mais simples. Novamente, um radiano é o que você obtém quando pega o raio de um círculo e o posiciona na circunferência. Então, está diretamente relacionado à circunferência. Portanto, o comprimento do arco em radianos é r * C , onde r é o raio e C é o ângulo central em radianos.
Área do Setor – Comprimento do Arco
Ok, agora vamos descobrir a área de um setor usando o comprimento do arco. Novamente, isso é útil se você tiver o raio e o comprimento do arco, mas não o ângulo central. Aqui, a área de um setor é apenas 1/2 * r * L , onde r é o raio e L é o comprimento do arco. Como você pode se lembrar disso? Basta pegar seu setor ou fatia de pizza e girar assim:
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Como é isso? Um triangulo! E qual é a fórmula da área para um triângulo? 1/2 * base * altura. Isso se parece muito com 1/2 * raio * comprimento do arco, não é?
Voltemos à nossa fatia de pizza. Digamos que o raio seja de 5 polegadas e o comprimento do arco seja de 4 polegadas. Basta conectá-lo a 1/2 * r * L e obteremos 1/2 * 5 * 4. Isso terá 10 polegadas quadradas.
Resumo da lição
Em resumo, aprendemos sobre setores e comprimentos de arco. Um setor é basicamente a sua fatia de pizza, ou a seção de um círculo limitado por dois raios e um arco, que é a parte da circunferência entre as linhas do raio.
Se conhecermos o raio e o ângulo central, ou o ângulo formado pelos raios, podemos encontrar a área do setor convertendo a área de uma fórmula de círculo. Se estivermos usando graus, é n / 360 (onde n é o número de graus) vezes pi vezes o raio ao quadrado. Se estivermos usando radianos, é apenas theta dividido por 2, onde theta é o ângulo central em radianos, vezes o raio ao quadrado.
Em seguida, examinamos os comprimentos de arco. Você pode encontrar o comprimento do arco convertendo a fórmula da circunferência. Com um ângulo central em graus, é 2 vezes pi vezes o raio (essa é a fórmula da circunferência) vezes n / 360, onde n é o ângulo central. Com radianos, é apenas as vezes o raio do ângulo, ou r * C .
Para encontrar a área de um setor usando o comprimento do arco, você encontra 1/2 vezes o raio vezes o comprimento do arco. Isso é muito semelhante à área de uma fórmula de triângulo.
Também justificamos comer pizza como um exercício mental. Sinta-se à vontade para dizer isso a si mesmo na próxima vez que pegar uma fatia.
Resultados de Aprendizagem
O estudo desta lição pode fornecer a você a capacidade de:
- Definir setor, comprimento do arco e ângulo central
- Encontre a área de um setor usando o comprimento do arco ou convertendo a área de uma fórmula de círculo