Substituição Trig
Quando estava aprendendo a dirigir, sempre perguntava à minha mãe se eu poderia dirigir até o shopping. Ela disse que eu não tinha permissão para dirigir ou tirar minha carteira de motorista até aprender a dirigir com câmbio manual. Bem, não achei isso particularmente justo, porque meu objetivo era simplesmente ir ao shopping e queria fazer isso dirigindo um carro. Eu sabia que um câmbio manual era o caminho mais difícil; em vez disso, queria pegar meu carro com câmbio automático e transformá-lo em uma automática porque sabia que dirigir uma automática seria muito mais fácil.
Isso é muito parecido com uma substituição trigonométrica em matemática. O objetivo da substituição trigonométrica é usar a substituição com base nas identidades trigonométricas. Vamos usar a substituição com base em triângulos retângulos para tornar a integração mais fácil. Então, aqui, seu objetivo pode ser avaliar uma integral, mas você deseja fazer isso encontrando uma anti-derivada. Antes de usar a substituição certa, você pode ter uma bagunça complicada em suas mãos, mas depois de usar a substituição trigonométrica, a vida pode ser um pouco mais simples.
Exemplo 1
Então, vamos dar um exemplo. Digamos que você tenha a integral de (1 / a raiz quadrada de (1 – x ^ 2)) dx . I pode mapear isso para um triângulo retângulo, ou seja, aquele em que eu tenho um , b e c , onde c é a hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras, eu sei que a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Um triângulo retângulo que se parece um pouco com esta equação é se eu tiver 1 na hipotenusa, x em um dos lados e então pelo teorema de Pitágoras, eu sei que o outro lado é a raiz quadrada de (1 – x ^ 2 )
Então, por que eu mapeio assim? Bem, eu quero manter este triângulo o mais simples possível, mas ainda assim fazer com que pareça minha integral. Então aqui eu tenho um 1 (que é para este valor aqui), e eu tenho um x para este valor aqui e neste terceiro lado, como resultado dos outros dois, eu tenho a raiz quadrada de (1 – x ^ 2). Eu desenho meu triângulo assim, de modo que este termo de aparência complicada seja apenas um lado do meu triângulo.
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Folha de Referência de Substituição de Trig
Eu serei honesto. Em geral, as substituições trigonométricas são muito difíceis. É difícil vê-los e, geralmente, quando você vê uma substituição trigonométrica, pode querer ver como fazer o seu problema de forma diferente. Mas às vezes você não pode evitá-los. Então, quais são algumas regras que podem nos ajudar a encontrar substituições que façam algum sentido? Bem, se você tem uma função que depende de alguma constante ao quadrado, C ^ 2 + x ^ 2, então você deve considerar o uso da substituição x igual a C vezes a tangente de teta , que escrita em forma de símbolo é x = C * tan ( theta ). Aqui, você vai substituir x em seu integrando por uma nova variável,theta . Ao usar essa substituição específica, lembre-se de que 1 mais a tangente ao quadrado de teta é igual à secante ao quadrado de teta (1 + tan ^ 2 ( teta ) = sec ^ 2 ( teta )). Esta é uma identidade trigonométrica.
Se, por outro lado, você tem uma função que depende de alguma constante ao quadrado menos x ^ 2, você pode querer considerar a substituição x igual a C vezes o seno de teta ( x = C * sin ( theta )). Ao usar essa substituição, você pode querer lembrar a identidade trigonométrica 1 menos o seno ao quadrado de teta é igual ao cosseno ao quadrado de teta (1 – sen ^ 2 ( teta ) = cos ^ 2 ( teta )).
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Finalmente, se você tem x ^ 2 – C ^ 2 – então alguma constante ao quadrado – você pode querer considerar o uso da substituição x igual a C vezes a secante de teta ( x = C * sec ( teta )). Se você usar esta substituição trigonométrica, tenha em mente que a identidade trigonométrica secante ao quadrado de theta menos 1 é igual à tangente ao quadrado de teta (sec ^ 2 ( theta ) – 1 = tan ^ 2 ( theta )).
Exemplo # 1, continuação
Vamos voltar ao nosso exemplo de (1 / a raiz quadrada de (1 – x ^ 2)) dx . Porque temos 1 – x ^ 2, isso é como 1 ^ 2 – x ^ 2. Portanto, de acordo com nossa pequena lista de substituições, podemos considerar o uso da substituição x = C * sin ( theta ), onde C é apenas 1.
Então vamos fazer uma substituição, x = sin ( theta ), e se tomarmos a derivada disso, teremos dx = cos ( theta ) * d * theta . Se eu conectar aqueles em minha integral, minha integral se torna 1 / a raiz quadrada de (1 – sin ^ 2 ( theta )) * (cos ( theta ) * d * theta ), onde isso é de dx e este é de x . Agora, inicialmente, você pode pensar: ‘Bem, isso não está me ajudando muito.’ Quer dizer, tudo bem, passamos de x ^ 2, esta raiz quadrada de (1 – x^ 2) à raiz quadrada de (1 – sin ^ 2), mas também adicionamos esse cosseno no topo aqui. Então, o que isso fez? Aqui usamos nosso conhecimento de trigonometria. Lembre-se de que 1 = sin ^ 2 ( theta ) + cos ^ 2 ( theta ). Se eu subtrair sin ^ 2 ( theta ) de ambos os lados, obtenho 1 – sin ^ 2 ( theta ) = cos ^ 2 ( theta ). Portanto, esta parte inferior aqui se torna a raiz quadrada de cos ^ 2 ( theta ); isso é apenas cos ( theta ). E então eu acabo com meu integrando: cos ( theta ) / (cos ( theta ) * d * theta ), e isso apenas se cancela de forma que toda a minha integral se reduz a d * theta.
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Eu sei como integrar d * theta . É como integrar 1, e a integral de 1 é apenas, neste caso, teta mais alguma constante de integração. Seguindo nossas regras de substituição, precisamos colocar x de volta nesta equação, colocando theta de volta. Então, o que é theta ? Bem, teta, nós definimos como sendo x = sin ( teta ). Se eu quiser resolver para teta , tomo o sin ( x ) inverso = o seno inverso de sin ( theta ), o que significa que o sin ( x ) inverso é igual a teta (sin ^ -1 ( x) = theta ). I pode ligar isso em, e eu acho que o meu integrante da (1 / a raiz quadrada de (1 – x ) ^ 2) dx é igual ao pecado ^ -1 ( x ) mais alguns constante de integração C . Nós também pode chamar este o arco seno de x + C .
Exemplo # 2
Vamos fazer um exemplo ligeiramente diferente. Digamos que queremos encontrar a integral de (1 / (4 + x ^ 2)) dx . Bem, agora estou olhando para um triângulo com lados xe 2 e uma hipotenusa que é a raiz quadrada de 4 (isso é 2 ^ 2) + x ^ 2. Então, eu vejo 4 + x ^ 2 e estou pensando que talvez queira usar alguma substituição trigonométrica aqui. Então, em que substituição devo pensar?
Bem, eu tenho este C ^ 2 + x ^ 2, onde meu C é 2 porque eu tenho 4 + x ^ 2, o que é como dizer que tenho 2 ^ 2 + x ^ 2. Então, vou usar a substituição x = 2 * tan ( theta ). Se x = 2 * tan ( theta ), então dx = 2seg ^ 2 (theta) * d * theta , porque a derivada da tangente é a secante ao quadrado. Se eu os conectar, obtenho 1/4 + 4tan ^ 2 ( theta ) – porque isso é x ^ 2 – vezes 2seg ^ 2 ( theta ) * d * theta , onde este é o meudx de antes. Bem, 4 + 4tan ^ 2 ( theta ) é como 4 vezes 1 + tan ^ 2 ( theta ), e posso usar uma identidade trigonométrica onde 1 + tan ^ 2 ( theta ) = sec ^ 2 ( theta ), e posso reescrever este termo como 4seg ^ 2 ( theta ).
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Portanto, agora tenho 2seg ^ 2 ( theta ) / (4sec ^ 2 ( theta ) * d * theta ). Todos esses sec ^ 2 ( theta ) s se cancelam e eu posso fatorar 2 da parte superior e inferior, então termino com a integral de 1/2 ( d * theta ). Bem, mais uma vez, é uma integração muito fácil. Eu sei que isso é igual a 1/2 ( theta ) + uma constante de integração. Novamente, o que é theta ? Vamos nos livrar disso e colocar x de volta. Bem, se x é 2tan ( teta ), posso resolver isso para teta dividindo os dois lados por 2 e obtendo a tangente inversade ambos os lados. Portanto, teta é tan ^ -1 ( x / 2). Meu integrante, em seguida, é 1/2 (tan ^ -1 ( x / 2)) + uma constante de integração C .
Resumo da lição
Portanto, o objetivo com as substituições trigonométricas é usar substituições com base nas identidades trigonométricas, e você faz isso para facilitar a integração. Esta é apenas outra maneira de sugerir que tipo de substituição em u simplificará uma integral. Portanto, as sugestões são, se você tiver algum número C ^ 2 + x ^ 2, use x = C * tan ( theta ), onde theta agora é a variável sobre a qual você está integrando. Se você tiver C ^ 2 – x ^ 2, use x = C * sin ( theta ). Por último, se você tiver x ^ 2 – C ^ 2, use x =C * sec ( teta ).
Se você usar essas substituições e se lembrar de algumas identidades trigonométricas, as substituições trigonométricas podem simplificar suas integrais e torná-las tão fáceis quanto dirigir um carro automático para o shopping.